Courbe de Lamé

Courbe de Lamé

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Exemples de courbes de Lamé

     

 

Les courbes de Lamé (ou superellipses) sont un groupe de courbes définies pour la première fois par le mathématicien français Gabriel Lamé en 1818^[1]. Elles sont définies par leur équation cartésienne :

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1.}$

Similairement, elles sont définies par l'équation polaire (pour les points ${\displaystyle (r,\theta )}$ qui respectent l'équation) :

${\displaystyle r=\left(\left|{\frac {\cos(\theta )}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {\sin(\theta )}{b}}\right|^{n}\!\right)^{-1/n}\!,}$

Propriétés

Les courbes de Lamé peuvent aussi être définies par l'équation paramétrique^[2] :

${\displaystyle {\begin{cases}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{cases}}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}.}$

L'aire de la surface délimitée par une courbe de Lamé vaut^[3]

${\displaystyle {\frac {4^{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}ab{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (1+{\frac {1}{n}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{n}})}},}$

où Γ est la fonction Gamma.

Notes et références

Articles connexes

• Fonction trigonométrique généralisée
• Astroïde
• Superœuf
• Squircle

Liens externes

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Den Store Danske Encyklopædi
  • Store norske leksikon

• Portail de la géométrie