Correspondance de Langlands géométrique

En mathématiques, la correspondance de Langlands géométrique est une reformulation de la correspondance de Langlands obtenue en remplaçant les corps de nombres apparaissant dans la version originale en théorie des nombres par des corps de fonctions, ce qui conduit à utiliser des techniques de géométrie algébrique[1]. La correspondance de Langlands géométrique relie la géométrie algébrique et la théorie des représentations.

Histoire

En mathématiques, la correspondance de Langlands classique est une collection de résultats et conjectures qui relient la théorie des nombres et la théorie des représentations. Formulée par Robert Langlands à la fin des années 1960 dans une lettre qui lui a valu le prix Abel, elle est liée à d'importantes conjectures en théorie des nombres telles que la conjecture de Taniyama-Shimura, qui entraîne le dernier théorème de Fermat[1]. Établir la correspondance de Langlands dans le cadre arithmétique s'est révélé extrêmement difficile. C'est pourquoi un certain nombre de mathématiciens ont proposé une version géométrique de la correspondance[1].

Relation avec la physique

Dans un article de 2007, Anton Kapustin (en) et Edward Witten ont décrit une connexion entre la correspondance de Langlands géométrique et la dualité S (en) en théorie des cordes[2].

En 2018, lors de la remise du prix Abel, Langlands a déposé un article dans lequel il reformule le programme géométrique avec des outils semblables à ceux de la correspondance de Langlands originale[3],[4].

Notes et références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Geometric Langlands correspondence  » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ a b et c Frenkel 2007, p. 3
  2. ↑ Kapustin and Witten 2007
  3. ↑ (en-US) « The Greatest Mathematician You've Never Heard Of », sur The Walrus, (consulté le )
  4. ↑ Robert Langlands, « Об аналитическом виде геометрической теории автоморфных форм », sur Institute of Advanced Studies,‎

Bibliographie

  • Edward Frenkel, « Lectures on the Langlands program and conformal field theory », dans Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II, Springer, (ISBN 978-3-540-30307-7, DOI 10.1007/978-3-540-30308-4_11, Bibcode 2005hep.th...12172F, arXiv hep-th/0512172, S2CID 119611071), p. 387-533
  • Anton Kapustin et Edward Witten, « Electric-magnetic duality and the geometric Langlands program », Communications in Number Theory and Physics, vol. 1, no 1,‎ , p. 1-236 (DOI 10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1, Bibcode 2007CNTP....1....1K, arXiv hep-th/0604151, S2CID 30505126)

Liens externes

  • « Quantum geometric Langlands correspondence », sur nLab
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