Corps valué

Soient ${\displaystyle (K,d)}$ un corps muni d'une distance associée à une valuation ${\displaystyle |~|}$ et ${\displaystyle ({\widehat {K}},{\widehat {d}})}$ l'anneau complété. Par prolongement des identités, ${\displaystyle {\widehat {d}}}$ est invariante par translations et l'application ${\displaystyle x\mapsto {\widehat {d}}(x,0)}$ (qui prolonge ${\displaystyle |~|}$) est une valuation sur ${\displaystyle {\widehat {K}}}$. L'application ${\displaystyle K^{*}\to K,\;x\mapsto x^{-1}}$ est ${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}$-lipschitzienne sur ${\displaystyle \{x\in K\mid |x|\geq \varepsilon \}}$ pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Elle s'étend donc continûment en une application ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ définie sur ${\displaystyle \cup _{\varepsilon >0}\{x\in {\widehat {K}}\mid |x|\geq \varepsilon \}={\widehat {K}}^{*}}$.

1. ↑ ^{a et b} N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions] (chap. IX, §3, p. 28-31).
2. ↑ Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions] p. 36, qui mentionne de plus une caractérisation des valeurs absolues non ultramétriques.
3. ↑ Remarque : tout espace vectoriel à gauche sur un corps valué discret est un espace vectoriel topologique pour la topologie discrète ; il n'en est pas ainsi pour un espace vectoriel non nul sur un corps valué non discret.