Conjecture de Duffin-Schaeffer

La conjecture de Duffin-Schaeffer est une conjecture (maintenant un théorème) en mathématiques, concernant l'approximation diophantienne proposée par R. J. Duffin et A. C. Schaeffer en 1941[1]. Elle stipule que si f : N → R + {\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}} est une fonction à valeurs réelles prenant des valeurs positives, alors pour presque tout α {\displaystyle \alpha } (par rapport à la mesure de Lebesgue), l'inégalité

| α − p q | < f ( q ) q {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}}

a une infinité de solutions en p , q {\displaystyle p,q} entiers premiers entre eux avec q > 0 {\displaystyle q>0} si et seulement si

∑ q = 1 ∞ f ( q ) φ ( q ) q = ∞ , {\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }f(q){\frac {\varphi (q)}{q}}=\infty ,}

où φ ( q ) {\displaystyle \varphi (q)} est l'indicatrice d'Euler.

En 2019, la conjecture de Duffin-Schaeffer a été prouvée par Dimitris Koukoulopoulos et James Maynard[2].

Progrès

L'implication de l'existence des approximations rationnelles par la divergence de la série découle du lemme de Borel-Cantelli[3]. La reciproque était le cœur de la conjecture[4]. Il y a eu de nombreux résultats partiels de la conjecture de Duffin-Schaeffer : Paul Erdős a établi en 1970 que la conjecture est vraie s'il existe une constante c > 0 {\displaystyle c>0} tel que pour tout entier n {\displaystyle n} nous avons soit f ( n ) = c / n {\displaystyle f(n)=c/n} ou f ( n ) = 0 {\displaystyle f(n)=0} [4],[5]. Cela a été renforcé par Jeffrey Vaaler en 1978 pour le cas f ( n ) = O ( n − 1 ) {\displaystyle f(n)=O(n^{-1})} [6],[7].

En 2006, Beresnevich et Velani ont prouvé qu'une conjecture analogue pour la mesure de Hausdorff est équivalente à la conjecture originale de Duffin-Schaeffer, qui est a priori plus faible. Ce résultat est publié dans les Annals of Mathematics[8].

En juillet 2019, Dimitris Koukoulopoulos et James Maynard ont annoncé une preuve de la conjecture[9]. En juillet 2020, la preuve a été publiée dans les Annals of Mathematics[10].

Problèmes connexes

Un analogue de dimension supérieure de cette conjecture a été résolu par Vaughan et Pollington en 1990[4],[11],[12].

Notes

  1. ↑ Duffin et Schaeffer, « Khintchine's problem in metric diophantine approximation », Duke Math. J., vol. 8, no 2,‎ , p. 243–255 (DOI 10.1215/S0012-7094-41-00818-9, zbMATH 0025.11002)
  2. ↑ Koukoulopoulos et Maynard, « On the Duffin-Schaeffer conjecture », Annals of Mathematics, vol. 192, no 1,‎ , p. 251 (DOI 10.4007/annals.2020.192.1.5, JSTOR 10.4007/annals.2020.192.1.5, arXiv 1907.04593, S2CID 195874052, lire en ligne)
  3. ↑ Harman (2002) p. 68
  4. ↑ a b et c Hugh L. Montgomery, Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis, vol. 84, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Regional Conference Series in Mathematics », (ISBN 978-0-8218-0737-8, zbMATH 0814.11001), p. 204
  5. ↑ Harman (1998) p. 27
  6. ↑ « Duffin-Schaeffer Conjecture », Ohio State University Department of Mathematics, (consulté le )
  7. ↑ Harman (1998) p. 28
  8. ↑ Beresnevich et Velani, « A mass transference principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures », Annals of Mathematics, second Series, vol. 164,‎ , p. 971–992 (ISSN 0003-486X, DOI 10.4007/annals.2006.164.971, zbMATH 1148.11033, arXiv math/0412141, S2CID 14475449)
  9. ↑ Sloman, « New Proof Solves 80-Year-Old Irrational Number Problem », Scientific American,‎ (lire en ligne)
  10. ↑ Koukoulopoulos et Maynard, « On the Duffin-Schaeffer conjecture », Annals of Mathematics, vol. 192, no 1,‎ , p. 251 (DOI 10.4007/annals.2020.192.1.5, JSTOR 10.4007/annals.2020.192.1.5, arXiv 1907.04593, S2CID 195874052, lire en ligne)Koukoulopoulos, Dimitris; Maynard, James (2020). "On the Duffin-Schaeffer conjecture". Annals of Mathematics. 192 (1): 251. arXiv:1907.04593. doi:10.4007/annals.2020.192.1.5. JSTOR 10.4007/annals.2020.192.1.5. S2CID 195874052.
  11. ↑ Pollington et Vaughan, « The k dimensional Duffin–Schaeffer conjecture », Mathematika, vol. 37,‎ , p. 190–200 (ISSN 0025-5793, DOI 10.1112/s0025579300012900, zbMATH 0715.11036, lire en ligne)
  12. ↑ Harman (2002) p. 69

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Duffin–Schaeffer conjecture » (voir la liste des auteurs).
  • Glyn Harman, Metric number theory, vol. 18, Oxford, Clarendon Press, coll. « London Mathematical Society Monographs. New Series », (ISBN 978-0-19-850083-4, zbMATH 1081.11057)
  • Glyn Harman, Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory, Natick, MA, A K Peters, , 57–74 p. (ISBN 978-1-56881-162-8, zbMATH 1062.11052), « One hundred years of normal numbers »

Liens externes

  • (en) Article du magazine Quanta sur la conjecture de Duffin-Schaeffer.
  • (en) Interview de Numberphile avec James Maynard à propos de la preuve.
  • icône décorative Portail des mathématiques