Conjecture d'Erdős-Straus

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La conjecture d'Erdős-Straus énonce que tout nombre rationnel de la forme 4 n {\displaystyle {\frac {4}{n}}} , avec n entier supérieur ou égal à 2, peut être écrit comme somme de trois fractions unitaires, c'est-à-dire qu'il existe trois entiers naturels non nuls x , y {\displaystyle x,y} et z {\displaystyle z} tels que :

4 n = 1 x + 1 y + 1 z . {\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.}

Louis Mordell a montré que pour n ≢ 1 , 11 2 , 13 2 , 17 2 , 19 2 , 23 2   m o d   840 {\displaystyle n\not \equiv 1,11^{2},13^{2},17^{2},19^{2},23^{2}~{\mathtt {mod}}~840} la conjecture est vraie[1].

Références

  1. ↑ Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris/58-Clamecy, Calvage et Mounet, , 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), I - Arithmétique de ℤ, chap. 2.3. (« Fractions égyptiennes »), p. 24-28

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

M. Mizony, M.-L. Gardes, « Un point sur la conjecture d'Erdös et Straus », Université Claude-Bernard,

  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres