Champ conservatif

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Un champ de vecteurs est dit à circulation conservative (ou irrotationnel) si sa circulation sur toute courbe fermée est nulle (son rotationnel est alors nul, et réciproquement)^[1].

Sous certaines conditions relatives au domaine de définition et à la régularité du champ, on peut dériver le potentiel de ce champ, fonction scalaire qui en permet une représentation alternative.

De même, un champ de vecteurs est dit à flux conservatif si son flux sur toute surface fermée est nul (sa divergence est alors nulle, et réciproquement). Le champ magnétique est un exemple de champ à flux conservatif.

Théorème

Un champ vectoriel à circulation conservative dérive d'un champ scalaire et sa circulation d'un point A à un point B est indépendante du chemin suivi de A à B.

Application à l'électrostatique

En électromagnétisme, lorsque le champ est stationnaire, la circulation du champ électrique s'exprime comme la différence de potentiel en ces points :

${\displaystyle \int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=V_{\mathrm {A} }-V_{\mathrm {B} }}$

où ${\displaystyle {\vec {r}}}$ est le vecteur position du point M où l'on observe ${\displaystyle {\vec {E}}}$ et ${\displaystyle V}$.

Le champ électrostatique dérive d'un champ scalaire V, le champ de potentiel :

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}V}$.

Articles connexes

• Théorème du gradient

Notes et références

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