Application sous-linéaire

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Illustration de la fonction f(x)={43xx≥012xx<0{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\tfrac {4}{3}}\,x&x\geq 0\\{\tfrac {1}{2}}\,x&x<0\end{cases}}}

Soit V {\displaystyle V} un espace vectoriel sur ℝ. On dit qu'une application s : V → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle s\,\colon \,V\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} est sous-linéaire[1] lorsque :

  • pour tous vecteurs x {\displaystyle x} et y {\displaystyle y} de V {\displaystyle V} , s ( x + y ) ≤ s ( x ) + s ( y ) {\displaystyle s(x+y)\leq s(x)+s(y)} (on dit que s {\displaystyle s} est sous-additive),
  • pour tout vecteur x {\displaystyle x} et tout λ ≥ 0 {\displaystyle \lambda \geq 0} , s ( λ x ) = λ s ( x ) {\displaystyle s(\lambda x)=\lambda \,s(x)} [2] (on dit que s {\displaystyle s} est positivement homogène[3]).

Une application sous-linéaire est aussi dénommée pseudo-jauge en analyse fonctionnelle.

Les applications sous-linéaires sont convexes.

Comme exemples d'applications sous-linéaires, citons les semi-normes ou, plus généralement, toute jauge d'un convexe contenant l'origine. Une jauge est une pseudo-jauge à valeurs positives.

Notes et références

  1. ↑ Cf. (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, (lire en ligne), p. 313-314. Dans le cas particulier V = R n {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}} , on trouve une définition équivalente dans (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, coll. « Grundlehren Text Editions », (1re éd. 2001) (ISBN 978-3-540-42205-1), p. 124 et dans (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms I: Fundamentals, Springer, coll. « Grundlehren Text Editions », (ISBN 3-540-56850-6), p. 198.
  2. ↑ Pour λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} (avec la convention 0 × ∞ = 0 {\displaystyle 0\times \infty =0} ), cette condition implique s ( 0 ) = 0 {\displaystyle s(0)=0} .
  3. ↑ Ou « positivement homogène de degré 1 ».
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