Algèbre normée

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Une algèbre normée est une algèbre A sur le corps des réels ou des complexes munie d'une norme d'espace vectoriel qui vérifie :

∀ x , y ∈ A ‖ x y ‖ ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ . {\displaystyle \forall x,y\in A\qquad \|xy\|\leq \|x\|\|y\|.}

En d'autres termes, il s'agit d'une algèbre sur K = R ou C telle que l'espace vectoriel sous-jacent soit normé, la norme étant en outre sous-multiplicative.

Dans une algèbre normée unifère A non nulle, l'élément unité peut toujours être supposé de norme 1, quitte à remplacer la norme x ↦ ‖ x ‖ {\displaystyle x\mapsto \|x\|} par la norme équivalente d'algèbre x ↦ sup ‖ y ‖ = 1 ‖ x y ‖ {\displaystyle x\mapsto \sup _{\|y\|=1}\|xy\|} .

Unitarisée d'une algèbre normée

Toute K-algèbre normée A est un idéal fermé de son « unitarisée » : l'algèbre normée unitaire définie par la norme et le produit suivants sur A ⊕ K : ( a , λ ) ( b , μ ) = ( a b + λ b + μ a , λ μ ) , ‖ ( a , λ ) ‖ = ‖ a ‖ + | λ | {\displaystyle (a,\lambda )(b,\mu )=(ab+\lambda b+\mu a,\lambda \mu ),\quad \|(a,\lambda )\|=\|a\|+|\lambda |} (on peut remplacer cette norme par une norme équivalente d'algèbre, comme max ( ‖ a ‖ , | λ | ) {\displaystyle \max(\|a\|,|\lambda |)} ).

L'algèbre unitarisée d'une algèbre de Banach est de Banach.

L'unitarisée d'une C*-algèbre est une C*-algèbre, pour l'involution naturelle et la norme ‖ ( a , λ ) ‖ = sup b ∈ A , ‖ b ‖ ≤ 1 ‖ a b + λ b ‖ {\displaystyle \|(a,\lambda )\|=\sup _{b\in A,\|b\|\leq 1}\|ab+\lambda b\|} . Par exemple, si X est un espace localement compact, l'unitarisée de la C*-algèbre commutative C0(X) des fonctions scalaires continues sur X nulles à l'infini (munie de la norme de la convergence uniforme) est l'algèbre C(X+) des fonctions continues sur son compactifié d'Alexandrov. Par exemple : l'unitarisée de C0(ℝn) est C(Sn).

Articles connexes

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