Z-muunnos

Z-muunnos on digitaalisen signaalinkäsittelyn työkalu, joka on diskreettiaikainen versio analogisessa sähkötekniikassa käytettävälle Laplace-muunnokselle. Z-muunnos on yleistetty tapaus diskreettiaikaiselle Fourier-muunnokselle. Muunnoksella voidaan siirtyä taajuustasoon, sitten poistaa sieltä vähemmän merkitsevät, vaimeat taajuudet ja siirtyä sitten käänteismuunnoksella takaisin aikatasoon. Syy siihen, että näin tehdään, on lähinnä tiedonsiirrollinen: siirtolinjojen kapasiteetti on niukka. Myös tiedon tallennus (esim. MP3) tulee edulliseksi.

Määritelmä

Olkoon (jatkuva-aikaisesta signaalista näytteistetty so. poimittu) lukujono muotoa

${\displaystyle x_{k}=...,x_{-2},x_{-1},x_{0},x_{1},x_{2},...\quad ,k\in \mathbb {Z} }$.

Lukujonon ${\displaystyle x_{k}\,}$ Z-muunnos määritellään^[1]

${\displaystyle X(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x_{k}z^{-k}\quad ,z\in \mathbb {C} }$.

Muunnosta ${\displaystyle X(z)\,}$ kutsutaan jonon ${\displaystyle \{x_{k}\}\,}$ z-tasoesitykseksi. Muuttuja ${\displaystyle z\,}$ on mielivaltainen kompleksiluku. Geometrisesti voidaan ajatella, että tässä operaatiossa projisoidaan kaksi ääretönulotteista vektoria toisiinsa. Z-muunnos voidaan siis esittää sisätulona

${\displaystyle X(z)=\mathbf {x} ^{T}\mathbf {z} }$,

missä vektorit ${\displaystyle x\,}$ ja ${\displaystyle z\,}$ saadaan muodostamalla näytteistetyistä sarjoista ${\displaystyle \{x_{k}\}\,}$ ja ${\displaystyle \{z^{-k}\}\,}$ ääretönulotteiset vektorit esimerkiksi asettamalla määrittelemättömät sarjan alkiot nolliksi.

Nähdään, että z-sekvenssi on joko eksponentiaalisesti divergoiva (hajaantuva) tai konvergoiva (suppeneva), riippuen siitä, onko ${\displaystyle |z|>1}$ vai ${\displaystyle |z|<1}$. Jos ${\displaystyle |z|=1}$, on kyseessä diskreettiaikainen Fourier-muunnos eli z-muunnos evaluoidaan tällöin yksikköympyrän kehällä kompleksitasossa. Näin ollen Z-muunnoksen avulla tutkitaan, onko aikatason signaalissa – tai suotimessa – komponentteja, jotka joko hajautuvat tai suppenevat.

Ominaisuuksia

Z-muunnoksen ominaisuuksia

	Esitys aikatasossa	Esitys Z-tasossa
	${\displaystyle x(n)\,}$	${\displaystyle X(z)\,}$
Viivästys	${\displaystyle x(n-n_{0})\,}$	${\displaystyle z^{-n_{0}}X(z)\,}$
Kertominen vakiolla ${\displaystyle K\,}$	${\displaystyle K^{n}x(n)\,}$	${\displaystyle X({\frac {z}{K}})\,}$
Kertominen ${\displaystyle n\,}$:llä	${\displaystyle nx(n)\,}$	${\displaystyle -z{\frac {d}{dz}}X(z)\,}$
Konjugaatio	${\displaystyle x^{*}(n)\,}$	${\displaystyle X^{*}(z^{*})\,}$
Aikatason kääntö	${\displaystyle x(-n)\,}$	${\displaystyle X(z^{-1})\,}$
Konvoluutio	${\displaystyle x(n)*h(n)\,}$	${\displaystyle X(z)H(z)\,}$

Z-muunnos signaalinkäsittelyssä

Z-muunnosta käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä erityisesti lineaaristen, aikainvarianttien (Linear Time Invariant, LTI) systeemien ja suotimien yhteydessä. Jos ${\displaystyle x_{n}}$ ja ${\displaystyle y_{n}}$ ovat diskreettiaikaisia signaaleja ja jos ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ ovat kompleksisia vakioita, niin

${\displaystyle ax_{n}+by_{n}\longrightarrow aX(z)+bY(z),z\in R_{x}\cap R_{y}}$,

missä ${\displaystyle R_{x}\,}$ ja ${\displaystyle R_{y}\,}$ ovat muunnoksien ${\displaystyle X(z)\,}$ ja ${\displaystyle Y(z)\,}$ konvergenssialueita. Näillä kompleksitason alueilla systeemi on stabiili

${\displaystyle |X(z)|,|Y(z)|<\infty }$.

Tämä z-muunnoksen ominaisuus on lineaarisuus. Aikainvarianssi taas tarkoittaa sitä, että ajassa siirretyn tai viivästetyn sisäänmenosignaalin vaste eli ulostulo on myös viivästetty. Karkeasti voidaan sanoa, että tällöin systeemin parametrit eivät riipu ajasta; tämä ei ole kuitenkaan eksakti selitys, mutta oleellinen käytännön kannalta. Aikainvarianssi määritellään seuraavasti: jos ${\displaystyle S\,}$ on systeemi ja ${\displaystyle D\,}$ on viive-elementti, niin aikainvariantissa systeemissä

${\displaystyle S(D(x))=D(S(x))\,}$.

Suodinsuunnittelussa suotimen kertoimet pyritään valitsemaan siten, että z-muunnos konvergoi. Tällöin puhutaan stabiilista systeemistä. Diskreettiaikainen LTI-systeemi voidaan jaotella joko äärellisen impulssivasteen (engl. Finite Impulse Response, FIR) tai äärettömän impulssivasteen (engl. Infinite Impulse Response, IIR) systeemeihin. Impulssivaste on lukujono, jonka systeemi tuottaa ulostulona, kun sille annetaan syötesignaalina yksikköimpulssi. FIR-suodin esitetään äärellisenä summana

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=0}^{N-1}h_{k}x_{n-k}}$,

missä ${\displaystyle \{h_{k}\}\,}$ ovat suotimen kertoimet. Tällainen systeemi suppenenee aina, sillä sekä kertoimet että lukujonot ovat äärellisiä. FIR-suotimessa ei ole ulostulosignaalien takaisinkytkentää sisäänmenoon. Tällaisella suotimella voidaan toteuttaa lineaarivaiheinen suodin, jonka kaikki taajuuskomponentit viivästyvät ajallisesti yhtä paljon. Lineaarivaiheinen suodin ei siis aiheuta signaalissa vääristymistä aikatasossa. Kun halutaan toteuttaa suodin, jossa on vähemmän kertoimia, valitaan IIR-suodin. IIR-suotimissa on ulostulon takaisinkytkentöjä, jotka voivat aiheuttaa epästabiilisuuden. Suodinsuunnittelussa on kuitenkin kehitetty rutiineja, joilla epästabiilisuus eliminoidaan.

Z-muunnoksella on sovelluskohteita mm. digitaalisessa signaalinkäsittelyssä ja -suodatuksessa, spektrianalyysissä, TV-tekniikassa, audiotekniikassa, korkeatasoisessa musiikissa ja tietoliikenteessä.

Lähteet

Kirjallisuutta

• Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9.

Aiheesta muualla

• Wolfram Mathworld: Z-Transform (englanniksi)
• Swarthmore College, Linear Physical Systems Analysis: Table of Laplace and Z Transforms (englanniksi)