Tasajakauma

Tasajakauma

Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Merkintä	${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}$ tai ${\displaystyle \mathrm {unif} (a,b)}$
Parametrit	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty \,}$
Määrittelyjoukko	${\displaystyle x\in [a,b]}$
Tiheysfunktio	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\0&{\text{muulloin}}\end{cases}}}$
Kertymäfunktio	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{kun }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\1&{\text{kun }}x>b\end{cases}}}$
Odotusarvo	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
Mediaani	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
Moodi	mikä tahansa välin ${\displaystyle [a,b]}$ piste
Varianssi	${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}}$
Vinous	0
Huipukkuus	${\displaystyle -{\tfrac {6}{5}}}$
Entropia	${\displaystyle \ln(b-a)\,}$
Momentit generoiva funktio	${\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}}$
Karakteristinen funktio	${\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{itb}-\mathrm {e} ^{ita}}{it(b-a)}}}$

Tasajakauma eli tasainen jakauma ^[1] on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jossa jokainen perusjoukon eli määrittelyjoukon arvo esiintyy yhtä todennäköisesti.^[1] Tasajakaumaa merkitään usein

${\displaystyle X\sim \operatorname {Tas} (a,b)}$ ^[2] ${\displaystyle \sim \operatorname {Unif} (a,b)}$ ${\displaystyle \sim \operatorname {U} (a,b),}$ ^[1][2]

missä ensimmäistä näistä käytetään vain suomenkielisessä tekstissä. Parametrit ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ rajaavat perusjoukon suljetun välin eli rajaavat ne luvut, joita satunnaismuuttuja satunnaisesti antaa. Tasajakaumalla on sellainen ainutlaatuinen ominaisuus, että tapahtuman ${\displaystyle P(c\leq X\leq d)}$ (missä on a < c < d < b) todennäköisyys riippuu vain välien [a,b] ja [c,d] pituuksien suhteista. Usein sanotaan myös, että satunnaismuuttuja saa arvoja satunnaisesti väliltä [a,b].^[1]

Tasajakaumaa käytetään useimmiten sellaisten tapahtumien mallintamiseen, jossa yksidimensioisen muuttujan (aika, paikka, väli ja niin edelleen) arvot voidaan ajatella esiintyvän yhtä yleisesti. Suomalaisessa lukio-opetuksessa geometristä todennäköisyyttä hyödyntävät tehtävät ovat tasan jakaantuneita. Tietokoneen satunnaislukugeneraattoria (proceduurin nimi ${\displaystyle \scriptstyle {rnd}}$) simuloidaan ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Tas} (0,1)-}$jakautuneen satunnaismuuttujan arvoja. Satunnaislukugeneraattorin luvuilla simuloidaan sitten muitakin tasajakaumia, kun lausekkeeksi kirjoitetaan ${\displaystyle \scriptstyle (b-a)\cdot {rnd}+a}$.^[3]

Todennäköisyysjakauma

Jakauman parametrit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ toteuttavat ehdon ${\displaystyle a<b}$, jolloin jakauman perusjoukko on suljettu väli ${\displaystyle [a,b]}$.

Tiheysfunktio saa perusjoukossa vakioarvot

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\0&{\text{kun }}x\notin [a,b]\end{cases}},}$ ^[1][4]

ja muualla arvon nolla.

Kertymäfunktio on

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)={\begin{cases}0&{\text{kun }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\1&{\text{kun }}x>b\end{cases}}}$ ^[1][4]

Tunnusluvut ja momentit

Momenttifunktio

Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä

${\displaystyle M(t)=E(e^{tX})=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}e^{tx}{\frac {1}{b-a}}\mathrm {d} x}$

${\displaystyle ={\frac {1}{t(b-a)}}\int _{a}^{b}te^{tx}\mathrm {d} x={\frac {e^{bt}-e^{at}}{t(b-a)}}\,.}$

Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Momenttifunktio ei ole määritelty origossa, mutta sen määrittelyalue laajennetaan sinnekin asettamalla ${\displaystyle M(0)=1.}$ Momentit joudutaan määrittämään raja-arvoina.^[4]

Ensimmäiset origomomentit ovat

${\displaystyle \mu =E(X)=\lim _{t\to 0}M'(t)={\tfrac {1}{2}}(a+b)}$

${\displaystyle \mu _{2}=E(X^{2})={\tfrac {1}{3}}(a^{2}+ab+b^{2})}$

${\displaystyle \mu _{3}=E(X^{3})={\tfrac {1}{4}}(a+b)(a^{2}+b^{2})}$

${\displaystyle \mu _{4}=E(X^{4})={\tfrac {1}{5}}(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})}$

ja niiden yleinen termi on

${\displaystyle \mu _{n}=E(X^{n})={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.}$ ^[4]

Keskusmomenttien yleinen muoto on

${\displaystyle \mu '_{n}=E((X-\mu )^{n})={\frac {(a-b)^{n}+(b-a)^{n}}{2^{n+1}(n+1)}}.}$ ^[4]

Tunnuslukuja

Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista

${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)={\frac {1}{2}}(a+b).}$ ^[2][4]

Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti

${\displaystyle \mu '_{2}=\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}={\frac {1}{12}}(b-a)^{2}.}$ ^[2][4]

Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla

${\displaystyle g_{1}={\frac {\mu '_{3}}{{\mu '}_{2}^{3/2}}}={\frac {0}{{\mu '}_{2}^{3/2}}}=0.}$ ^[5][6]

Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {{\mu '}_{4}}{{\mu '}_{2}^{2}}}-3=-{\frac {5}{6}}.}$ ^[6][7]

Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.

Muut jakaumat

Beta-jakauma ${\displaystyle \beta (1,1)}$ vastaa tasaista jakaumaa.^[6]

Lähteet

Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Tasajakauma.