Siirtofunktio

Siirtofunktio on matemaattinen esitys lineaarisen systeemin tulon ja lähdön riippuvuudesta. Siirtofunktio voidaan esittää mm. aikatasossa, Laplace-tasossa tai taajuustasossa. Usein siirtofunktiota käsitellään Laplace-tasossa, jolloin yhtälöt ovat yksinkertaisemmin käsiteltäviä.

Käyttö

Siirtofunktiota käytetään esimerkiksi elektroniikassa, optiikassa, kommunikoinnin teoriassa ja säätötekniikassa. Siirtofunktion avulla voidaan määrittää Bode-diagrammi, tehdä Fourier'n muunnos tutkittavalle systeemille, sekä tutkia esimerkiksi askelvasteen käyttäytymistä ja systeemin stabiilisuutta.^[1]

Muodostus Laplace-tasossa

Lineaarisen järjestelmän siirtofunktio Laplace-tasossa muodostetaan systeemin aikatason funktiosta Laplace-muunnoksella.^[2] Kokeellisesti siirtofunktio voidaan määrittää myös esimerkiksi askelvastekokeella.

Lineaarisen aikainvariantin systeemin siirtofunktio on sen painofunktion Laplace-muunnos. Yhden tulosignaalin systeemin painofunktio on sama kuin systeemin yksikköimpulssivaste, joka on toisaalta myös systeemin yksikköaskelvasteen derivaattafunktio.

Siirtofunktion lauseke voidaan johtaa ainakin kolmella menetelmällä: Laplace-muunnoksen avulla, systeemin eksponentiaalisen ominaisfunktion avulla ja derivointioperaattoriin perustuvalla operaattorisiirtofunktiopäättelyllä. Laplace-muunnokseen viitattaessa voidaan käyttää joko aikavälin ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$, aikavälin ${\displaystyle (0,\infty )}$ tai aikavälin ${\displaystyle (0^{-},\infty )}$ Laplace-muunnosta. Tavallisesti aikaväliksi valitaan näistä toinen tai kolmas. Tavallisesti tutkittava tapahtuma myös määritellään niin, että systeemin tulosignaali ja lähtösignaali ovat nollia aikamuuttujan negatiivisilla arvoilla. Tällöin systeemin sanotaan olevan levossa ennen aikavälin alkuhetkeä. Kolmatta aikaväliä on saatettu käyttää toisen sijasta siltä varalta, että jossakin tutkittavassa funktiossa esiintyisi (ainakin teoriassa) hetkellä 0 esimerkiksi Diracin yksikköimpulssiin verrannollinen funktio tms. klassiselle matematiikalle tuntematon erikoisuus.

Yhden tulosignaalin lineaariselle aikainvariantille systeemille, joka on levossa hetkeen 0 tultaessa, siirtofunktio on lähtösignaalin ${\displaystyle y(t)}$ ja tulosignaalin ${\displaystyle x(t)}$ Laplace-muunnoksien suhde.

Jos systeemin malliksi kelpaa tavanomainen lineaarisen vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö (jossa ei siis ole viittauksia esimerkiksi aitoihin viiveilmiöihin), niin siirtofunktio on Laplace-muuttujan kahden polynomin osamäärä eli muotoa

${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+...+b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n}s^{n}+...+a_{1}s+a_{0}}}}$,

missä ${\displaystyle n\;}$ ja ${\displaystyle m\;}$ ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja. Vakio ${\displaystyle n\;}$ ilmaisee siirtofunktion kertaluvun. Vakiovahvistusmallin siirtofunktion arvo on se vakiovahvistus, derivointielimen (derivoinnin, derivointioperaation) siirtofunktio on ${\displaystyle s}$ ja integraattorin (integroinnin) siirtofunktio on ${\displaystyle 1/s}$. Yllä esiteltyä siirtofunktiota sanotaan epäaidoksi (improper), jos ${\displaystyle m>n}$. Siirtofunktion epäaitous on riittävä ehto epästabiiliudelle. Siten teoreettinen derivointielinkin, jolle ${\displaystyle n=0,m=1}$, paljastuu epästabiiliksi. Jos taas ${\displaystyle m\leq n}$, niin siirtofunktio on aito (proper). Ehdolla ${\displaystyle m<n}$ siirtofunktiota sanotaan vahvasti aidoksi (strictly proper).

Myös mm. eräille viiveilmiöitäkin kuvaaville malleille ja osittaisdifferentiaaliyhtälöitäkin sisältäville malleille voidaan määritellä siirtofunktio. Sellaisen systeemin siirtofunktio ei ole polynomien osamäärä. Esimerkiksi kulkuaikaviivemallin, jonka viive on vakio ${\displaystyle d}$, siirtofunktio on ${\displaystyle exp(-ds)}$. Monissa tarkasteluissa nähdään muotoa ${\displaystyle G(s)exp(-ds)}$ oleva siirtofunktiotulo, jossa ${\displaystyle G(s)}$ on polynomien osamäärä. Se kuvaa siirtofunktion ${\displaystyle G(s)}$ kuvaaman systeemin ja edellä mainitun viivesysteemin sarjaankytkentää, jonka Input-Output -vaste saadaan myöhästämällä siirtofunktion ${\displaystyle G(s)}$ kuvaamaa vastetta viiveen ${\displaystyle d}$ verran.

Eräs ensimmäisen kertaluvun siirtofunktio on

${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {K}{\tau s+1}}}$,

missä ${\displaystyle K\;}$ on vahvistus ja ${\displaystyle \tau \;}$ on aikavakio.

Eräs toisen kertaluvun siirtofunktio voidaan kirjoittaa muodossa

${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {K\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega s+\omega _{n}^{2}}}}$,

missä ${\displaystyle K}$ on systeemin vahvistus, ${\displaystyle \omega _{n}\;}$ on kulmataajuus ja ${\displaystyle \zeta \;}$ on vaimennusvakio. Tällaisen reaalikertoimisen siirtofunktion omaava systeemi voidaan tehdä kahdesta sarjaan kytketystä aikavakiosysteemistä, jos ${\displaystyle \omega _{n}}$ ei ole nolla ja jos ${\displaystyle \zeta }$ on vähintään yksi. Näiden aikavakiosysteemien aikavakiot ovat silloin

${\displaystyle \tau _{1}={\frac {1}{\omega _{n}(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}})}}}$

${\displaystyle \tau _{2}={\frac {\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}{\omega _{n}}}}$

Näiden kaavojen käänteiskaavat ovat

${\displaystyle \omega _{n}={\frac {1}{\sqrt {\tau _{1}\tau _{2}}}}}$

${\displaystyle \zeta ={\frac {\tau _{1}+\tau _{2}}{2{\sqrt {\tau _{1}\tau _{2}}}}}}$

Siirtofunktiosta voidaan siirtyä takaisin systeemiä kuvaavaan differentiaaliyhtälöön Laplace-käänteismuunnoksella.

Tulkinta

Siirtofunktion perusteella voidaan tutkia systeemin tulosignaalin aiheuttaman vastekomponentin (osavasteen) ominaisuuksia.

Supistumattoman siirtofunktion nimittäjän juuria sanotaan systeemin navoiksi ja osoittajan juuria nolliksi. Polynomin juurten lukumäärä on polynomin asteluvun suuruinen. Juuret eli polynomin nollakohdat voivat olla moninkertaisia eli kaksi tai useampikin juuri voivat saada saman arvon.

Systeemiä sanotaan BIBO-stabiiliksi (Bounded Input Bounded Output), jos ja vain jos jokaisen rajoitetun tulosignaalin aiheuttama lähtösignaalin komponentti on rajoitettu. BIBO-stabiilin systeemin yksikköimpulssivaste suppenee nollaan ja askelvaste suppenee äärelliseen vakioon.

Systeemi, joka ei ole BIBO-stabiili, on joko marginaalisesti stabiili tai epästabiili. Systeemi on marginaalisesti stabiili, jos ja vain jos sen yksikköimpulssivaste on rajoitettu mutta ei suppene nollaan. Systeemi on epästabiili, jos ja vain jos sen yksikköimpulssivaste on rajoittamaton.

Jos systeemin siirtofunktio on epäaito, niin systeemi on epästabiili. Jos taas siirtofunktio on aito, niin systeemi on a) BIBO-stabiili, jos systeemi on navaton tai sen kaikilla navoilla on negatiivinen reaaliosa b) marginaalisesti eli kriittisesti stabiili, jos sillä ei ole napoja imaginaariakselin oikealla puolelle eikä moninkertaisia napoja imaginaariakselilla mutta sillä on imaginaariakselilla yhdessä tai useammassa pisteessä yksinkertainen napa. c) epästabiili, jos imaginaariaskelin edes yhdessä pisteessä on vähintään kaksi napaa tai imaginaariakselin oikealla puolella on vähintään yksi napa.

Nollien sijainti kompleksitasossa ei vaikuta systeemin stabilisuuteen.^[2]

Jos reaalikertoimisen siirtofunktion navoissa on ei-reaalisia lukuja, niin ne esiintyvät kompleksikonjugaatteina. Systeemin vasteissa ilmenee värähtelyä, jos napojen joukossa on ei-reaalisia lukuja. Napaparien imaginääriosan itseisarvosta saadaan niitä vastaava värähtelyn kulmataajuus. On kuitenkin huomattava, että askelvasteessa voi esiintyä ylitys, vaikka navat olisivatkin reaaliset.

Systeemin vahvistus jatkuvuustilassa saadaan sijoittamalla siirtofunktioon ${\displaystyle s=0\;}$.

Katso myös

• Bode-diagrammi
• Järjestelmän dynamiikka
• Impulssi- ja askelvaste
• Laplacen muunnos

Lähteet

Kirjallisuutta

• Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9.