Riemannin–Stieltjesin integraali

Riemannin–Stieltjesin integraali on eräs Riemannin integraalin yleistys. Se on saanut nimensä Thomas Joannes Stieltjesin ja Bernhard Riemannin mukaan. Riemannin–Stieltjesin integraali voidaan määritellä joko summien tai ylä- ja alarajojen avulla. Tässä artikkelissa integraali on määritelty ylä- ja alarajojen avulla.

Riemannin–Stieltjesin integraali on muotoa
${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dg(x)}$,
missä funktiota f kutsutaan integrandiksi ja funktiota g integraattoriksi.
Integraali voi myös olla muotoa
${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)d\alpha }$.

Määritelmä

Olkoon α kasvava funktio välillä [a,b]. Välin [a,b] osituksella P tarkoitetaan pistejoukkoa ${\displaystyle x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}}$ , missä

a= ${\displaystyle x_{0}}$ ≤ ${\displaystyle x_{1}}$ ≤ ${\displaystyle \cdots }$ ≤ ${\displaystyle x_{n}}$ = b.

Merkitään

${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x_{i}}$ = ${\displaystyle x_{i}-x_{i-1}}$, missä (i = 1, ${\displaystyle \cdots }$ , n).

Oletetaan, että f on rajoitettu reaalifunktio välillä [a,b]. Jokaisella osituksella P välillä [a,b] asetetaan

${\displaystyle M_{i}}$ = sup f(x) (${\displaystyle x_{i-1}}$ ≤ x ≤ ${\displaystyle x_{i}}$)

${\displaystyle m_{i}}$ = inf f(x) (${\displaystyle x_{i-1}}$ ≤ x ≤ ${\displaystyle x_{i}}$).

Jokaiselle ositukselle P välillä [a,b] voidaan merkitä

${\displaystyle \Delta }$ α = α(${\displaystyle x_{i}}$) - α(${\displaystyle x_{i-1}}$).

On selvää, että ${\displaystyle \Delta }$ α ≥ 0. Jokaiselle reaalifunktiolle f, joka on rajoitettu välillä [a,b], asetaan

U (P, f, α) = ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$,

L (P, f, α) = ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$.

Jos

${\displaystyle infU(P,f,\alpha )=supL(P,f,\alpha )}$ ,

missä supremum ja infimum otetaan kaikkien ositusten yli, niin yhteistä arvoa merkitään
${\displaystyle \int _{a}^{b}fd\alpha }$
tai ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)d\alpha (x)}$. Tätä kutsutaan funktion f Riemannin–Stieltjesin integraaliksi tai yksinkertaisemmin Stieltjesin integraaliksi ${\displaystyle \alpha }$:n suhteen yli välin [a,b].

Riemannin–Stieltjesin integraalin yhteys Riemannin integraaliin

Merkitsemällä ${\displaystyle \alpha (x)=x}$ nähdään, että Riemannin integraali on erikoistapaus Riemannin–Stieltjesin integraalista:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)d\alpha =\int _{a}^{b}f(x)dx}$.

Yleisissä tapauksissa ${\displaystyle \alpha }$:n ei tarvitse olla jatkuva.

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuuksia

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuudet muistuttavat pitkälti Riemannin integraalin ominaisuuksia.
Seuraavassa esitellään muuttujan vaihto sekä integraalin lineaariominaisuudet.

Muuttujan vaihto

Olkoon funktio ${\displaystyle f\in R}$ välillä [a,b] ja g aidosti monotoninen ja jatkuva funktio, joka on määritelty välillä S=[a,b]. Oletetaan, että a = g(c) ja b = g(d) sekä funktiot h ja ${\displaystyle \beta }$ ovat yhdistettyjä funktioita, jotka on määritelty seuraavasti

${\displaystyle h(x)=f[g(x)],\beta =\alpha [g(x)]}$,

jos ${\displaystyle x\in S}$.
Silloin funktio ${\displaystyle h\in R}$ välillä S ja
${\displaystyle \int _{a}^{b}fd\alpha =\int _{c}^{d}hd\beta }$.

Lineaariominaisuudet

Jos ${\displaystyle f\in R(\alpha )}$ ja ${\displaystyle g\in R(\alpha )}$ välillä [a,b], niin

${\displaystyle c_{1}f+c_{2}g\in R(\alpha )}$ välillä [a,b] ja

${\displaystyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}f)d\alpha =c_{1}\int _{a}^{b}fd\alpha +c_{2}\int _{a}^{b}gd\alpha }$.

Katso myös

• Lebesgue–Stieltjes-integraali

Lähteet

Tähän artikkeliin tai sen osaan on merkitty lähteitä, mutta niihin ei viitata. Älä poista mallinetta ennen kuin viitteet on lisätty. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkelille asianmukaisia viitteitä. Lähteettömät tiedot voidaan kyseenalaistaa tai poistaa.

• Rudin W., Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, 1953 ^{lähde tarkemmin?}
• Laitinen T., Riemann-Stieltjes-integraali, Pro gradu -työ, 2006 ^{lähde tarkemmin?}

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.