Mittaintegraali

Mittaintegraali on matemaattisessa analyysissa eräs integraali.^[1] Mittaintegraalin tavoitteena on luoda mitta-avaruuteen eräänlainen lineaarinen kuvaus, joka liittää jokaiseen mitalliseen funktioon jonkin luvun väliltä ${\displaystyle [0,\infty ]}$. Tämä integraalityyppi on alun perin matemaatikko Henri Lebesguen kehittämä. Tunnettu Lebesguen integraali on mittaintegraali, jonka mittana on Lebesguen mitta.

Olkoon ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ mitta-avaruus. Integraali määritellään yksinkertaisten kuvausten kautta.

Kuvaus ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ on yksinkertainen, jos

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{k}a_{i}1_{A_{i}}}$,

missä ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}\geq 0}$; ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}\in {\mathcal {A}}}$ ja joukot ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ ovat perusjoukon ${\displaystyle X}$ ositus ja ${\displaystyle 1_{A_{i}}}$ on indikaattorifunktio.

Yksinkertaisen funktion ${\displaystyle f}$ integraali on

${\displaystyle I(f,\mu )=\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mu (A_{i})}$.

Olkoon ${\displaystyle f:X\rightarrow [0,\infty ]}$ kuvaus, joka on ${\displaystyle \mu }$-mitallinen. Kuvauksen ${\displaystyle f}$ integraali on

${\displaystyle \int _{X}f(x)\,d\mu (x)=\int _{X}f\,d\mu =\sup\{I(g,\mu )\,|\,g\ {\textrm {on}}\ {\textrm {yksinkertainen}}\ {\textrm {kuvaus}}\ X\rightarrow \mathbb {R} \ {\textrm {ja}}\ g\leq f\}}$.

Tätä esitysmuotoa kutsutaan mittaintegraaliksi. Yleensä mitta ${\displaystyle \mu }$ on yhteydestä selvä, jolloin sitä ei merkitä näkyviin, vaan käytetään lyhyempää tapaa

${\displaystyle \int _{X}f}$.

Kuvauksen ${\displaystyle f}$ integraali yli joukon ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ on

${\displaystyle \int _{E}f=\int _{X}f\cdot 1_{E}}$.

Kuvaus ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$ on integroituva, jos pätee ehto

${\displaystyle \int _{X}|f|<\infty }$.

${\displaystyle f}$ on integroituva yli joukon ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$, jos pätee

${\displaystyle \int _{E}|f|<\infty }$.

${\displaystyle f}$ on kvasi-integroituva, jos se ei ole integroituva, mutta pätee

${\displaystyle \int _{X}\max\{f,0\}<\infty }$ tai ${\displaystyle \int _{X}\max\{-f,0\}<\infty }$.

Oletetaan, joukko ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g}$ ovat ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-mitallisia kuvauksia ${\displaystyle E\rightarrow \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$ ja integroituvia yli joukon ${\displaystyle E}$.

• pätee kolmioepäyhtälö ${\displaystyle \left|\int _{E}f\right|\leq \int _{E}|f|}$
• summa ${\displaystyle f+h}$ on integroituva yli joukon ${\displaystyle E}$ ja ${\displaystyle \int _{E}(f+g)=\int _{E}f+\int _{E}g}$
• jos ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$, niin ${\displaystyle \lambda f}$ on integroituva yli joukon ${\displaystyle E}$ ja ${\displaystyle \int _{E}\lambda f=\lambda \int _{E}f}$
• jos ${\displaystyle f\leq g}$, niin ${\displaystyle \int _{E}f\leq \int _{E}g}$
• jos ${\displaystyle \mu (E)=0}$, niin ${\displaystyle \int _{E}f=0}$
• jos ${\displaystyle f=g}$ melkein kaikkialla joukossa ${\displaystyle E}$, niin ${\displaystyle \int _{E}f=\int _{E}g}$

Viimeinen ominaisuus voidaan tulkita niin, että funktion arvot nollajoukolla eivät vaikuta sen integraalin arvoon.

Jos lisäksi ${\displaystyle G\in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle E}$ ja ${\displaystyle G}$ ovat erillisiä sekä ${\displaystyle h}$ on ${\displaystyle \mu }$-mitallisia kuvaus ${\displaystyle E\cup G\rightarrow \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$ ja integroituva yli joukon ${\displaystyle E\cup G}$, niin

${\displaystyle \int _{E\cup G}h=\int _{E}h+\int _{G}h}$.

Olkoon ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ mitta-avaruus, ${\displaystyle \mu }$ täydellinen mitta ja luku ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$. Merkitään eksponentilla ${\displaystyle p}$ integroituvien funktioiden joukkoa symbolilla

${\displaystyle L^{p}=L^{p}(X)=L^{p}(\mu )=L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )=\{f:X\rightarrow \mathbb {R} \,|\,f\ {\textrm {on}}\ {\textrm {mitallinen}}\ {\textrm {ja}}\ \int _{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty \}}$.

Äärellisen oleellisen supremumin funktioiden joukkoa merkitään symbolilla

${\displaystyle L^{\infty }=L^{\infty }(X)=L^{\infty }(\mu )=L^{\infty }(X,{\mathcal {A}},\mu )=\{f:X\rightarrow \mathbb {R} \,|\,f\ {\textrm {on}}\ {\textrm {mitallinen}}\ {\textrm {ja}}\ \operatorname {ess} \,\sup |f|<\infty \}}$.

${\displaystyle f}$ on siis integroituva jos ja vain jos ${\displaystyle f\in L^{1}}$. Sanotaan, että ${\displaystyle f}$ on neliöintegroituva, jos ${\displaystyle f\in L^{2}}$.

Ominaisuuksia:

• ${\displaystyle L^{p}}$ on Banach-avaruus kaikilla ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$
• jos ${\displaystyle \mu }$ on äärellinen mitta ja ${\displaystyle 1\leq q\leq p\leq \infty }$, niin ${\displaystyle L^{p}(\mu )\subset L^{q}(\mu )}$

Jos ${\displaystyle p>1}$ ja ${\displaystyle q>1}$ siten, että

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$,

sekä ${\displaystyle f\in L^{p}}$ ja ${\displaystyle g\in L^{q}}$, niin Hölderin epäyhtälö on

${\displaystyle \int _{X}fg\,d\mu \leq \left(\int _{X}|f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{X}|f|^{q}\,d\mu \right)^{\frac {1}{q}}}$.

Jos ${\displaystyle p=1}$ ja ${\displaystyle q=\infty }$, niin epäyhtälö pätee muodossa

${\displaystyle \int _{X}fg\,d\mu \leq \left(\int _{X}|f|\,d\mu \right)\operatorname {ess} \sup |g|}$.

Lukuja ${\displaystyle p}$ ja ${\displaystyle q}$ kutsutaan toistensa Hölderin konjugaateiksi tai konjugoiduiksi eksponenteiksi.

Jos ${\displaystyle f,g\in L^{p}}$, niin ${\displaystyle ||f+g||_{p}\leq ||f||_{p}+||g||_{p}}$. Minkowskin epäyhtälö voidaan yleistää useammalle kuin kahdelle ${\displaystyle L^{p}}$-funktiolle matemaattisen induktion avulla tai huomaamalla että avaruus ${\displaystyle L^{p}}$ on vakaa yhteenlaskun suhteen.

Olkoon joukko ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ ja ${\displaystyle (f_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ jono ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-mitallisia kuvauksia ${\displaystyle E\rightarrow [0,\infty ]}$. Tällöin

${\displaystyle \int _{E}\liminf _{i\rightarrow \infty }f_{i}\leq \liminf _{i\rightarrow \infty }\int _{E}f_{i}}$

ja

${\displaystyle \int _{E}\limsup _{i\rightarrow \infty }f_{i}\geq \limsup _{i\rightarrow \infty }\int _{E}f_{i}}$.

Olkoon joukko ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ ja ${\displaystyle (f_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ jono ${\displaystyle \mu }$-mitallisia kuvauksia ${\displaystyle E\rightarrow \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$ siten, että jonon raja-arvo

${\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}}$

on olemassa. Konvergenssilauseiksi kutsutaan ehtoja, joista seuraa, että

${\displaystyle \int _{E}\lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}=\lim _{i\rightarrow \infty }\int _{E}f_{i}}$.

Toisin sanoen raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Jos pätee ${\displaystyle 0\leq f_{1}\leq f_{2}\leq \ldots }$, niin raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Jos on olemassa integroituva kuvaus ${\displaystyle g:E\rightarrow \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$ siten, että ${\displaystyle |f_{j}|\leq g}$ kaikilla ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ melkein kaikkialla joukolla ${\displaystyle E}$, niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Kutsutaan myös Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseeksi.

Jos ${\displaystyle \mu (E)<\infty }$ ja ${\displaystyle |f_{i}|<\infty }$ kaikilla ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Jokaiseen mitta-avaruuden ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ mitalliseen kuvaukseen ${\displaystyle f:X\rightarrow [0,\infty ]}$ voidaan liittää mittaintegraali ${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu }$ yli jokaisen joukon ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$. Voidaan osoittaa, että tämä kuvaus

${\displaystyle A\mapsto \int _{A}f\,d\mu ,}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

on itse asiassa mitta X:ssä. Tämä ns. integraalimitta on joskus hyödyllinen sovelluksissa, sillä siihen voidaan soveltaa kaikkia mitan ominaisuuksia.

Mittaintegraalille on olemassa myös vaihtoehtoinen määrittelytapa ns. Daniellin integraali, jossa integraali ensin määritellään niin yksinkertaisille funktioille ettei mittateoriaa tarvitse lainkaan ja sitten rajankäynnillä laajennetaan integraalin määritelmä yleisille funktioille. Mitta-avaruuteen määritelty Daniellin integraali johtaa samoihin tuloksiin kuin edellä määritelty mittaintegraali. Kuitenkin tietyissä yleistyksissä Daniellin integraalilla näyttää olevan etuja (kts. esimerkiksi Integral, measure and derivative: a unified approach. G.E.Shilov/B.L.Gurevich – Prentice-Hall 1966).

• Viivaintegraali
• Pintaintegraali

Usein esiintyviä integraaleja:

• Lebesgue–Stieltjes-integraali
• Riemannin integraali
• Riemann–Stieltjes-integraali
• Epäoleellinen integraali
• Bochner-integraali

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.