Lipschitz-jatkuvuus

Lipschitz-jatkuvuus on matemaattinen termi tietyntyyppiselle metristen avaruuksien välisen funktion jatkuvuudelle. Lipschitz-jatkuvuus on rajoittavampi ehto kuin funktion jatkuvuus. Erityisesti jokainen Lipschitz-jatkuva funktio on jatkuva.^[1]

Metristen avaruuksien ${\displaystyle (X,d)}$ ja ${\displaystyle (Y,d')}$ välinen funktio ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ on Lipschitz-funktio, Lipschitz-kuvaus tai lyhyemmin Lipschitz, jos on olemassa sellainen luku ${\displaystyle L\geq 0}$, että

${\displaystyle d'(f(x),f(y))\leq L\cdot d(x,y)}$

kaikilla ${\displaystyle x,y\in X}$.^[2] Tällöin sanotaan ${\displaystyle f}$:n olevan L-Lipschitz^[2]. Eli esimerkiksi vakiokuvaus on 0-Lipschitz. Pienintä lukua ${\displaystyle L}$, joka toteuttaa yllä olevan epäyhtälön, kutsutaan funktion ${\displaystyle f}$ Lipschitz-vakioksi. Funktiota, joka on Lipschitz vakiolla ${\displaystyle 0\leq L<1}$, kutsutaan kontraktioksi^[3].

Jokainen Lipschitz-funktio on absoluuttisesti jatkuva, ja Rademacherin lauseen mukaan Rⁿ:n avoimessa osajoukossa A määritelty Lipschitz-funktio on derivoituva melkein kaikissa A:n pisteissä.

• Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8.