Lineaarinen riippumattomuus

Lineaarinen riippumattomuus on eräs matematiikan ja erityisesti lineaarialgebran keskeisimpiä teemoja. ^[1] Tärkeytensä vuoksi se tulee käsitteenä vastaan myös puhtaan matematiikan ulkopuolella, esimerkiksi kvanttimekaniikassa, jossa kantafunktioilla on keskeinen merkitys.

Vektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Olkoon ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},...,\mathbf {v} _{n}\}}$ joukko vektoreita ja ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}\,}$ joukko jonkin kerroinkunnan alkioita, tavallisesti reaalilukuja. Sanotaan, että vektorit ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ ovat lineaarisesti riippumattomia, jos lauseke

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+...+a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }$

pätee jos ja vain jos kaikki kertoimet ${\displaystyle a_{i}}$ ovat nollia. Jos jokin tai jotkin kertoimista eivät ole nollia, sanotaan vektoreiden olevan lineaarisesti riippuvia. Käytännössä lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa sitä, ettei yksikään vektoreista ole joukon muiden vektoreiden monikertojen summa eli lineaarikombinaatio. Esimerkiksi vektorit

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$ ja ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$

ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia, sillä

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

on mahdollista vain silloin, kun ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=0}$. Jos kuitenkin otetaan mukaan kolmas vektori

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}}$

saadaan lineaarikombinaatio

${\displaystyle b_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}+b_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}+b_{3}{\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$,

joka toteutuu silloin, kun ${\displaystyle b_{1}=-2,b_{2}=-3}$ ja ${\displaystyle b_{3}=1}$, joten vektorit eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Kaikkien annetussa vektoriavaruudessa lineaarisesti riippumattomien vektoreiden joukko määrittelee vektoriavaruuden kannan. Vaikka kanta ei olekaan yksikäsitteinen (sillä jos esimerkiksi ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\}}$ on kanta, myös ${\displaystyle \{2\mathbf {v} _{1},3\mathbf {v} _{2}\}}$ on kanta), kantavektoreiden lukumäärä avaruudessa on vakio, ja se määrää tutkittavan vektoriavaruuden dimension. Edellisessä esimerkissä avaruuden dimensio on kaksi.

Funktioiden lineaarinen riippumattomuus

Samaan tapaan kuin vektoreille lineaarinen riippumattomuus voidaan määritellä yleisemminkin funktioille. Olkoot ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}}$ joukossa ${\displaystyle X}$ määriteltyjä funktioita ja ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}\,}$ kerroinkunnan alkioita. Vektoreiden tapaan funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia, jos

${\displaystyle a_{1}f_{1}(x)+a_{2}f_{2}(x)+...+a_{n}f_{n}(x)=0}$

kaikilla ${\displaystyle x\in X}$, vain silloin, kun kaikki kertoimet ovat nollia. Funktioiden lineaarinen riippumattomuus on olennaista, jos halutaan tietää, muodostavatko ne funktioavaruuden kannan. Funktioavaruuden dimensio määräytyy niin ikään lineaarisesti riippumattomien funktioiden lukumäärästä. Erotuksena vektoriavaruuteen on kuitenkin se, että on helppoa määritellä ääretöndimensioisia funktioavaruuksia käyttämällä kantana esimerkiksi ortogonaalisia polynomeja.

Lineaarisen riippumattomuuden toteaminen

Lineaarialgebrassa usein tulee vastaan tilanne, jossa annettujen olioiden, vektorien tai muiden sellaisten lineaarinen riippuvuus tai riippumattomuus on todettava. Tyypillisesti tämä palautuu kysymykseen yhtälöryhmän ratkaisemisesta. Esimerkiksi, jos halutaan tietää, ovatko vektorit

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$ ja ${\displaystyle {\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}}$

lineaarisesti riippumattomia, on ratkaistava yhtälöpari

${\displaystyle {\begin{cases}x-3y=0\\x+2y=0\end{cases}}}$.

Tämän tulokseksi saadaan ${\displaystyle x=0}$ ja ${\displaystyle y=0}$, joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Mikä tahansa nollasta eroava arvo x:lle tai y:lle olisi puolestaan merkinnyt lineaarista riippuvuutta. Matriisilaskennasta on tunnettua, että yhtälöparin ratkaisun olemassaolon kertoo myös yhtälöryhmästä kirjoitettu determinantti. Niinpä voidaan kirjoittaa determinantti sellaiselle matriisille, jonka pystyriveinä ovat tutkittavat vektorit

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}=2+3=5}$.

Koska determinantti ei ole nolla, vektorit eivät ole toistensa lineaarikombinaatioita ja ne ovat siis lineaarisesti riippumattomia.

Wronskin ja Casoratin determinantit

Jatkuvien funktioiden lineaarisen riippumattomuuden toteamiseen voidaan käyttää Wronskin determinanttia. Joukolle funktioita ${\displaystyle \{f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{N}(x)\}\,}$ se määritellään funktioista ja niiden derivaatoista muodostuvaksi determinantiksi

${\displaystyle W=\det {\begin{bmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&...&f_{N}(x)\\f'_{1}(x)&f'_{2}(x)&...&f'_{N}(x)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\f_{1}^{(n)}(x)&f_{2}^{(n)}(x)&...&f_{N}^{(n)}(x)\end{bmatrix}}}$.

Funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia kaikilla niillä x:n arvoilla, joilla determinantti ei ole nolla. Wronskin determinantti on tärkeä differentiaaliyhtälöiden teoriassa. Jos ${\displaystyle \{f_{n}^{[1]},f_{n}^{[2]},...,f_{n}^{[N]}\}\,}$ on N funktiota sisältävä joukko diskreettejä funktioita, niiden lineaarista riippuvuutta testaa Casoratin determinantti

${\displaystyle C=\det {\begin{bmatrix}f_{n}^{[1]}&f_{n}^{[2]}&...&f_{n}^{[N]}\\f_{n+1}^{[1]}&f_{n+1}^{[2]}&...&f_{n+1}^{[N]}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\f_{n+N-1}^{[1]}&f_{n+N-1}^{[2]}&...&f_{n+N-1}^{[N]}\end{bmatrix}}}$

Koska Casoratin determinantin kahden vaakarivin erotus on derivaatan diskreetti analogia, kyseessä on Wronskin determinantin suora yleistys. Myös tässä tapauksessa funktiot ${\displaystyle f_{n}^{[i]}}$ ovat lineaarisesti riippumattomia, jos determinantti eroaa nollasta.

Lähteet

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Helsinki: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.