Kommutaattori (matematiikka)

Ryhmäteoriassa ryhmän G alkioiden x ja y kommutaattori on ryhmän G alkio [x, y] = x⁻¹y⁻¹xy.^[1] Kommutaattorin voidaan ajatella mittaavan eräällä tavalla alkioiden kommutointia.

Ominaisuuksia

Alkioiden x ja y kommutaattori liittyy olennaisesti alkioiden vaihdannaisuuteen, sillä xy = yx[x, y]. Täten alkiot x ja y kommutoivat (eli ovat vaihdannaisia) täsmälleen silloin, kun kommutaattori [x, y] on ryhmän G neutraalialkio.

Suoraan laskemalla voidaan todistaa kommutaattorille seuraavia ominaisuuksia:

• ${\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}\ }$
• ${\displaystyle [xy,z]=y^{-1}[x,z]y[y,z]\ }$
• ${\displaystyle [x,yz]=[x,z]z^{-1}[x,y]z\ }$

Jos A ja B ovat ryhmän G osajoukkoja, niin ryhmän G aliryhmä ${\displaystyle [A,B]\ }$ on joukon

${\displaystyle \{a^{-1}b^{-1}ab\ |\ a\in A,b\in B\}}$

generoima aliryhmä. Aliryhmä

${\displaystyle G'=[G,G]=\langle g^{-1}h^{-1}gh\,|\,g,h\in G\rangle }$

on ryhmän G derivaattaryhmä.^[2] Erityisesti ryhmä G on Abelin ryhmä, jos ja vain jos

${\displaystyle G'=\{1\}\ .}$

Lähteet

• Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0. (englanniksi)

Viitteet