Kolmioepäyhtälö

Matematiikassa kolmioepäyhtälö on lause, jonka mukaan kolmion sivun pituus on vähintään kolmion kahden muun sivun pituuden erotuksen itseisarvo ja korkeintaan yhtä suuri kuin kahden muun sivun pituuden summa.^[1]

Kolmioepäyhtälö on voimassa monissa avaruuksissa, kuten reaaliluvuilla, euklidisissa avaruuksissa, Lp-avaruuksissa ja sisätuloavaruuksissa. Se esiintyy myös monissa matemaattisen ja funktionaalianalyysin määritelmissä, kuten esimerkiksi normiavaruuden ja metrisen avaruuden määritelmässä.

Normiavaruus

Normiavaruudessa V kolmioepäyhtälö on muotoa

${\displaystyle ||x+y||\leq ||x||+||y||}$     kaikilla V:n alkioilla x, y.

Siten vektoreiden summan normi on enintään samojen vektoreiden normien summa.

Reaaliluvut muodostavat normiavaruuden, missä normina on itseisarvo, joten kaikille reaaliluvuille x ja y on voimassa

${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|.}$

Kolmioepäyhtälö on hyödyllinen matemaattisessa analyysissä arvioimaan kahden luvun summan suuruutta. Myös summan alarajalle saadaan arvio. Tätä nimitetään toisinaan käänteiseksi kolmioepäyhtälöksi. Sen mukaan kaikilla reaaliluvuilla x ja y on voimassa

${\displaystyle {\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leq |x-y|.}$

Nämä voidaan yhdistää, jolloin saadaan

${\displaystyle {\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leq |x\pm y|\leq |x|+|y|.}$

Todistus

Lemma

${\displaystyle |x|\leq a\iff -a\leq x\leq a}$, missä ${\displaystyle a,x\in \mathbb {R} .}$

Lemman todistus

${\displaystyle ''\implies '':}$

${\displaystyle |x|\leq a\iff -a\leq -|x|.}$

${\displaystyle \therefore }$ itseisarvon määritelmän nojalla ${\displaystyle -a\leq -|x|\leq x\leq |x|\leq a.}$

${\displaystyle \therefore -a\leq x\leq a.}$

${\displaystyle ''\Longleftarrow '':}$

${\displaystyle -a\leq x\leq a\implies -x\leq a.}$

${\displaystyle \therefore }$ itseisarvon määritelmän nojalla ${\displaystyle |x|\leq a}$. ${\displaystyle \square }$

Olkoon ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$.

Itseisarvon määritelmän nojalla ${\displaystyle -|x|\leq x\leq |x|}$ ja ${\displaystyle -|y|\leq y\leq |y|}$.

Kun yhdistetään edelliset epäyhtälöt, saadaan ${\displaystyle -(|x|+|y|)\leq x+y\leq (|x|+|y|)}$.

${\displaystyle \therefore }$ Lemman nojalla ${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|\ (1)}$.

Edellä todistetun (1) nojalla ${\displaystyle |x|=|x+y-y|\leq |x+y|+|y|}$ ja ${\displaystyle |y|=|y+x-x|\leq |y+x|+|x|}$.

${\displaystyle \therefore }$ ${\displaystyle |x|-|y|\leq |x+y|}$ ja ${\displaystyle -|x+y|\leq |x|-|y|}$.

${\displaystyle \therefore -|x+y|\leq |x|-|y|\leq |x+y|}$.

${\displaystyle \therefore }$ Lemman nojalla ${\displaystyle {\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leq |x+y|}$. ${\displaystyle \square }$

Metrinen avaruus

Jos metrisessä avaruudessa M on annettu metriikka d, on kolmioepäyhtälö muotoa

${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$     kaikilla M:n alkioilla x, y ja z. Siten etäisyys x:stä z:aan on enintään yhtä suuri kuin etäisyys x:stä y:hyn ja y:stä z:aan.

Seurauksia

Seuraavat kolmioepäyhtälön seuraukset ovat usein hyödyllisiä. Ne antavat alarajoja ylärajojen sijasta:

${\displaystyle {\Big |}||x||-||y||{\Big |}\leq ||x-y||}$ tai metriikan termein ${\displaystyle |d(x,y)-d(x,z)|\leq d(y,z)}$.

Tämän mukaan siis normi ${\displaystyle ||\cdot ||}$, samoin kuin metriikka d(x, –), ovat 1-Lipschitz, ja siten jatkuvia.

Katso myös Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö.

Minkowskin avaruuden kolmioepäyhtälö

Tavallisessa Minkowskin avaruudessa kolmioepäyhtälön suunta kääntyy:

${\displaystyle ||x+y||\geq ||x||+||y||}$     kaikilla V:n alkioilla x, y joille ${\displaystyle ||x||\geq 0}$, ${\displaystyle ||y||\geq 0}$ ja ${\displaystyle t_{x}t_{y}\geq 0}$

Esimerkkinä tästä on suppean suhteellisuusteorian kaksosparadoksi.

Lähteet

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Helsinki: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.