Jaksollinen desimaaliluku

Jaksollinen desimaaliluku on desimaaliluku, jonka desimaaleissa toistuu jokin numero tai numerosarja äärettömän monta kertaa peräkkäin. Jokainen jaksollinen luku on rationaaliluku. Jaksollista desimaalilukua merkitään vetämällä viiva toistuvan numeron tai numerosarjan yläpuolelle.

Esimerkkejä

• ${\displaystyle 1/3=0{,}333...=0{,}{\overline {3}}}$

• ${\displaystyle 1/7=0{,}142857142857...=0{,}{\overline {142857}}}$

• ${\displaystyle 7/12=0{,}58333...=0{,}58{\overline {3}}}$

• ${\displaystyle 23/99=0{,}232323...=0{,}{\overline {23}}}$

Murtoluvut jaksollisina desimaalilukuina

Kun supistettu murtoluku p/q muunnetaan desimaaliluvuksi, saadaan päättyvä desimaali­luku vain, jos nimittäjä q ei ole jaollinen muulla alku­luvulla kuin 2 ja 5. Muussa tapauksessa saadaan aina päättymätön jaksollinen desimaali­luku, jossa jakson pituus voi olla enintään q - 1 numeroa. Niinpä esimerkiksi

• 1/7 = ${\displaystyle 0{,}{\overline {142857}}}$,

missä jakson pituus on kuusi numeroa. Jakso saattaa kuitenkin olla myös tätä lyhyempi, mutta jos q on alkuluku, jakson pituus on aina jokin q-1:n tekijä. Niinpä esimerkiksi

• 1/3 = ${\displaystyle 0{,}{\overline {3}}}$,
• 1/11 = ${\displaystyle 0{,}{\overline {09}}}$,.

Jos q ei ole alkuluku, jakson pituus ei välttämättä ole q-1:n tekijä. Tosin esimerkiksi

• 1/9 = ${\displaystyle 0{,}{\overline {1}}}$,

mutta

• 1/77 = ${\displaystyle 0{,}{\overline {012987}}}$,

missä jakson pituus 6 ei ole nimittäjän 77 tekijä.

Jos nimittäjä on jaollinen 2:lla tai 5:llä, jakso ei ala välittömästi desimaalipilkun jälkeen vaan myöhemmin, esimerkiksi

• ${\displaystyle 7/12=0{,}58333...=0{,}58{\overline {3}}}$.

Jaksollisen desimaaliluvun muuntaminen murtoluvuksi

Jaksollinen desimaaliluku, jossa jakso alkaa välittömästi desimaalipilkun jälkeen, voidaan muuntaa murtoluvuksi jakamalla jakso luvulla, jossa on yhtä monta yhdeksikköä kuin jaksossa on numeroita. Näin saatu murtoluku supistetaan, jos mahdollista. Esimerkiksi

• ${\displaystyle 0{,}363636...=0{,}{\overline {36}}=36/99=4/11}$, ja
• ${\displaystyle 0{,}{\overline {153846}}=153846/999999=2/13}$,

sillä murtoluku 153846/999999 voidaan supistaa tekijällä 76923, jolloin saadaan 2/13.

Jos jakso ei ala välittömästi desimaali­pilkun jälkeen, luku kerrotaan sopivalla kymmenen potenssilla ja lopuksi jaetaan samalla luvulla. Esimerkiksi:

${\displaystyle 0{,}01666...=0{,}01{\overline {6}}={\frac {1{,}{\overline {6}}}{100}}={\frac {1+{\frac {6}{9}}}{100}}={\frac {1+{\frac {2}{3}}}{100}}={\frac {\frac {5}{3}}{100}}={\frac {5}{300}}={\frac {1}{60}}.}$

Edellä todettiin, että kun murtoluvun nimittäjä q on muu alkuluku kuin 2 tai 5, on siis jakson pituus aina jokin q-1:n tekijä. Tämä seuraa Fermat'n pienestä lauseesta. Luku, jossa on q-1 yhdeksikköä, voidaan nimittäin esittää muodossa ${\displaystyle 10^{q-1}-1}$, ja mainitusta lauseesta seuraa, että jos q on alkuluku, ${\displaystyle 10^{q-1}-1}$ on jaollinen q:lla.

Katso myös

• 0,999...
• Kymmenjärjestelmä