Hermitoitu matriisi

Hermitoitu matriisi^[1] (myös konjugaattitranspoosi, adjungoitu matriisi tai adjungaatti, engl. adjoint) on annetun matriisin kompleksikonjugaatin transpoosi. Toisin sanoen, jos matriisi ${\displaystyle A=(a_{ij})\,}$ kuuluu renkaaseen ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ja ${\displaystyle {\bar {z}}}$ on kompleksiluvun ${\displaystyle z}$ kompleksikonjugaatti, niin ${\displaystyle A}$:n hermitoitu matriisi on

${\displaystyle A^{*}=({\bar {a}}_{ji})}$.

Etenkin kvanttimekaniikassa on tavallista merkitä hermitoitua matriisia "tikarilla" (dagger): ${\displaystyle A^{\dagger }}$. Hermitointi voidaan myös periaatteessa kirjoittaa "auki" kompleksikonjugointina ja transponointina: ${\displaystyle {\bar {A}}^{T}}$. Näin toimitaan kuitenkin harvoin, sillä hermitoiduille matriiseille on niiden yleisyyden takia käytännöllistä käyttää omaa merkintää.

Itseadjungoitu matriisi

Pääartikkeli: Hermiittinen matriisi

Hermitoitujen matriisien tärkeän erikoistapauksen muodostavat hermiittiset eli itseadjungoidut matriisit (engl. self adjoint). Ne ovat neliömatriiseja, joille

${\displaystyle A^{*}=A\,}$.

Jos ${\displaystyle A}$ on reaalinen (eli kaikki sen alkiot ovat reaalilukuja), itseadjungoituvuus on sama kuin matriisin symmetrisyys. Itseadjungoidulla matriisilla on sovellusten kannalta tärkeitä ominaisuuksia:

• Olkoon ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ sisätulo. Matriisi ${\displaystyle A}$ on itseadjungoitu jos ja vain jos ${\displaystyle \langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle }$.
• Itseadjungoidun matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia.
• Itseadjungoitu matriisi on unitaarisesti diagonalisoituva.
• Itseadjungoidun matriisin ominaisvektoreista voidaan valita ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$:n ortonormaali kanta.

Lähteet

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).