Differentiaalioperaattori

Matematiikassa differentiaalioperaattori on derivoituvaan funktioon kohdistuva operaattori. Se palauttaa funktion derivaatan. Differentiaalioperaattori on lineaarinen.^[1]

Merkintöjä

Useimmiten differentiaalioperaattoria käytetään kun halutaan ottaa funktion derivaatta. Yleisesti käytettyjä merkintöjä ovat:

${\displaystyle {d \over dx}}$

${\displaystyle D,\,}$ (kun differentioimismuuttuja tiedetään)

${\displaystyle D_{x},\,}$ (kun differentioimismuuttuja tiedetään, mutta muuttuja on merkitty näkyviin)

Ensimmäisille derivaatoille käytetään yllä olevia merkintöjä, mutta korkeammat derivaatat merkitään seuraavasti:

${\displaystyle d^{n} \over dx^{n}}$

${\displaystyle D^{n}\,}$

${\displaystyle D_{x}^{n}.\,}$

Merkintätavan D kehitti ja käytti Oliver Heaviside, joka tarkasteli differentiaalioperaattoreita muotoa

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

tutkiessaan differentiaaliyhtälöitä.

Yksi useimmiten käytetty differentiaalioperaattori on Laplacen operaattori, joka määritellään

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.}$

Toinen paljon käytetty operaattori on Θ-operaattori, jonka määritelmä on

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

Lähteet

Kirjallisuutta

• Michael Taylor: Partial Differential Equations - Basic Theory. , 1999 (2. painos). ISBN 0-387-94654-3. (englanniksi)