Catalanin otaksuma

Catalanin otaksuma on Eugène Charles Catalanin esittämä otaksuma, jonka mukaan Diofantoksen yhtälön

${\displaystyle x^{n}-y^{m}=1}$

ainoa positiivinen kokonaislukuratkaisu on

${\displaystyle x=3}$, ${\displaystyle y=2}$, ${\displaystyle n=2}$ ja ${\displaystyle m=3}$, kun ${\displaystyle n,m>1}$ ja ${\displaystyle x,y\neq 0}$.

Catalanin otaksuman todisti vuonna 2002 Preda Mihăilescu syklotomisten kuntien ja Galois'n modulien teorian avulla.

Todistushahmotelma

Mihăilescun todistus perustuu viiteen päälauseeseen^[1]: Olkoot ${\displaystyle p}$ ja ${\displaystyle q}$ parittomia alkulukuja ja ${\displaystyle x,y}$ nollasta poikkeavia kokonaislukuja.

Lause 1: On voimassa ${\displaystyle p^{q-1}\equiv 1{\pmod {q^{2}}}}$ ja ${\displaystyle q^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$.

Lause 2: On voimassa ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {q}}}$ tai ${\displaystyle q\equiv 1{\pmod {p}}}$.

Lause 3: On voimassa ${\displaystyle p<4q^{2}}$ ja ${\displaystyle q<4p^{2}}$.

Päälause: Yhtälön ${\displaystyle x^{p}-y^{q}=1}$ ne kokonaislukuratkaisut, joille ${\displaystyle p,q\geq 2}$ ja ${\displaystyle x,y\neq 0}$ ovat ${\displaystyle p=2,q=3,x=\pm 3,y=2}$.

Lause 4: Olkoot ${\displaystyle p}$ ja ${\displaystyle q}$ parittomia alkulukuja. Oletetaan, että ${\displaystyle p\leq 41}$ tai ${\displaystyle q\leq 41}$. Tällöin yhtälöllä ${\displaystyle x^{p}-y^{q}=1}$ ei ole nollasta poikkeavia ratkaisuja, kun ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} }$.

Näiden lauseiden todistukset perustuvat pääosin Rungen menetelmään ja syklotomisiin kuntiin.

Lähteet