Alkulukufunktio

Alkulukufunktio on matematiikan funktio, jolla lasketaan reaalilukua x pienempien tai yhtäsuurten alkulukujen lukumäärää.^[1][2][3] Funktion merkintä on ${\displaystyle \scriptstyle \pi (x)}$ (Kaavassa π(x) ei viitata lukuun π.)

Historiaa

1700-luvulla löysivät Gauss ja Legendre että

${\displaystyle x/\operatorname {ln} (x)\!}$

on hyvä approksimaatio alkulukufunktiolle; tarkemmin,

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln} (x)}}=1.\!}$

Tämä lauseke tunnetaan alkulukulauseena; se todistettiin 1800-luvun lopulla oikeaksi. Väite voidaan kirjoittaa yhtäpitävästi muodossa

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\operatorname {li} (x)}}=1,}$

jossa ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$on logaritminen integraalifunktio.

Littlewoodin lause

John Littlewood todisti 1914 että on olemassa mielivaltaisen suuria lukuja x, joille

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x}$

ja mielivaltaisen suuria lukuja x, joille

${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.}$

Tästä seuraa että erotuksen π(x) − li(x) merkki vaihtuu äärettömän usein.

Riemannin hypoteesi

Riemannin hypoteesi on ekvivalentti seuraavaan kaavaan:

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).}$

Riemannin hypoteesi siis antaisi alkulukufunktion antamalle arviolle alkulukujen määrästä huomattavasti nykyistä tiukemmat virherajat.

Lähteet

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Prime-counting function