Aliryhmä

 Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä.
Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Ryhmän ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} alkioiden ei-tyhjä osajoukko H {\displaystyle H} muodostaa aliryhmän, mikäli

  • a ∗ b ∈ H {\displaystyle a*b\in H} kaikilla a , b ∈ H {\displaystyle a,b\in H} ja
  • a − 1 ∈ H {\displaystyle a^{-1}\in H} kaikilla a ∈ H . {\displaystyle a\in H.}

Aliryhmärelaatiota merkitään tavallisesti H ≤ G . {\displaystyle H\leq G.}

Aliryhmän käsite voidaan määritellä myös yhtäpitävästi seuraavalla tavalla. Olkoon H {\displaystyle H} ryhmän ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} alkioiden osajoukko. Tällöin joukko H {\displaystyle H} on ryhmän ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} aliryhmä, mikäli

  • joukon H {\displaystyle H} binäärinen operaatio ⋆ {\displaystyle \star } , joka saadaan asettamalla a ⋆ b = a ∗ b {\displaystyle a\star b=a*b} kaikilla a , b ∈ H {\displaystyle a,b\in H} on hyvin määritelty (tämä on yhtäpitävä ehto aikaisemman määritelmän ensimmäisen ehdon kanssa) ja
  • pari ( H , ⋆ ) {\displaystyle (H,\star )} on ryhmä.

Toisin sanoen aliryhmä on itsessään ryhmä alkuperäisen ryhmäoperaation rajoittuman suhteen. Ryhmäteoriaa käsittelevässä kirjallisuudessa käytetään molempia määritelmiä.

Joukot { 1 } {\displaystyle \left\{1\right\}} ja G {\displaystyle G} ovat aina ryhmän G {\displaystyle G} aliryhmiä. Aliryhmää { 1 } {\displaystyle \left\{1\right\}} kutsutaan triviaaliksi aliryhmäksi. Mikäli H ≤ G {\displaystyle H\leq G} ja H ≠ G {\displaystyle H\not =G} , niin aliryhmää H {\displaystyle H} sanotan aidoksi ja merkitään H < G .   {\displaystyle H<G.\ }

Ominaisuuksia

Olkoon seuraavassa H ≤ G , {\displaystyle H\leq G,} h ∈ H {\displaystyle h\in H} ja g ∈ G . {\displaystyle g\in G.}

  • Ryhmän G   {\displaystyle G\ } neutraalialkio on myös aliryhmän H   {\displaystyle H\ } neutraalialkio.
  • Alkion h ∈ H {\displaystyle h\in H} käänteisalkio ryhmässä G   {\displaystyle G\ } on myös sen käänteisalkio aliryhmässä H .   {\displaystyle H.\ }
  • Tulo h g ∈ H {\displaystyle hg\in H} jos ja vain jos g ∈ H . {\displaystyle g\in H.} Vastaavasti g h ∈ H {\displaystyle gh\in H} jos ja vain jos g ∈ H . {\displaystyle g\in H.}
  • Kahden aliryhmä joukko-opillinen unioni on aliryhmä jos ja vain jos toinen aliryhmistä sisältyy toiseen. Siis jos K ≤ G {\displaystyle K\leq G} , niin
H ∪ K ≤ G {\displaystyle H\cup K\leq G} jos ja vain jos H ≤ K {\displaystyle H\leq K} tai K ≤ H .   {\displaystyle K\leq H.\ }
  • Aliryhmien joukko-opillinen leikkaus on aliryhmä. Eli jos I {\displaystyle I} on mielivaltainen indeksijoukko, jolla H i ≤ G {\displaystyle H_{i}\leq G} kaikilla i ∈ I {\displaystyle i\in I} , niin tällöin leikkaus
⋂ i ∈ I H i ≤ G . {\displaystyle \bigcap _{i\in I}H_{i}\leq G.}
  • Jos X ⊂ G {\displaystyle X\subset G} , niin edellisen kohdan nojalla on olemassa sellainen yksikäsitteinen suppein ryhmän G   {\displaystyle G\ } aliryhmä, joka sisältää joukon X   {\displaystyle X\ } . Tämä aliryhmä on
⋂ { K ≤ G | X ⊂ K }   {\displaystyle \bigcap \{K\leq G|X\subset K\}\ } ja sitä kutsutaan joukon X   {\displaystyle X\ } generoimaksi aliryhmäksi.

Katso myös

Kirjallisuutta

  • Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.