Aallokemuunnos

Aallokemuunnos on 1980-luvulta lähtien yleistynyt sovelletun matematiikan menetelmä, jota hyödynnetään mm. digitaalisessa signaalinkäsittelyssä ja harmonisessa analyysissä^[1]. Se on korvaamassa monessa sovellutuksessa Fourier-muunnoksen. Toisin kuin Fourier-muunnoksessa, joka määrittelee signaalin jatkuvien trigonometristen funktioiden lineaarikombinaationa, aallokemuunnoksessa signaalin muodostavat osafunktiot ovat lokaaleja.

Aallokemuunnos tehdään suodattamalla syötesignaali käyttäen kantafunktiosta johdettujen aalloke- ja skaalausfunktioiden eri tavalla skaalattuja ja aika-avaruudessa siirrettyjä variaatioita.

Yleisesti käytössä on ns. diskreetti aallokemuunnos, jossa aallokkeiden skaalaus ja siirto määritellään diskreettien kokonaislukuparametrien avulla. On myös olemassa ns. jatkuva aallokemuunnos, jossa skaalaus- ja siirtoparametrit voivat olla mitä tahansa reaalilukuja.^[1]

Diskreetti aallokemuunnos

Olkoon ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}$ aallokefunktio tai "äiti-aalloke". Sen muodostomaa funktioperhettä

${\displaystyle \lbrace \psi _{j,k}(x)={\sqrt {2}}^{j}\psi (2^{j}x-k):j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} \rbrace }$

kutsutaan aallokejärjestelmäksi, jonka avulla voidaan määritellä diskreetti aallokemuunnos:

${\displaystyle {\mathcal {W}}(f)(j,k)=\langle f,\psi _{j,k}\rangle ,}$

missä ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ on funktioavaruuden ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ sisätulo. Aallokemuunnoksen arvoja ${\displaystyle \langle f,\psi _{j,k}\rangle }$ kutsutaan funktion ${\displaystyle f}$ aallokekertoimiksi. Fourier-muunnoksen tavoin niiden avulla on mahdollista analysoida funktion ominaisuuksia eri skaaloissa tai taajuuksilla, mutta lokaalisti: jokainen aalloke ${\displaystyle \psi _{j,k}}$ on keskitetty ainoastaan ${\displaystyle \sim 2^{-j}}$ pituiselle osalle avaruutta ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Parametrin ${\displaystyle j}$ kasvaessa aallokkeiden koko pienenee ja niillä voidaan analysoida funktiota ${\displaystyle f}$ entistä pienemmillä väleillä, eli korkeammalla resoluutiolla.

Erityisen suosittuja ovat aallokefunktiot ${\displaystyle \psi }$, joiden muodostama aallokejärjestelmä on avaruuden ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ (tai sen aliavaruuden) kanta. Tällaisia aallokeperheitä on vuosien mittaan kehitetty lukuisia. Esim. Alfréd Haarin kehittämä Haarin aalloke, Ingrid Daubechiesin kompaktikantajaiset aallokeperheet ja Jean Morletin kompleksilukuarvoinen Morlet-aallokke.^[2].

Kannan määritelmän mukaisesti kaikki avaruuden alkiot voidaan esittää kannan avulla. Aallokkeiden tapauksessa mikä tahansa ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ voidaan ilmaista sen aallokertoimien avulla:

${\displaystyle f(x)=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\sum _{k\in \mathbb {Z} }\langle f,\psi _{j,k}\rangle \psi _{j,k}(x).}$

Tällöin lineaarinen analyysioperaattori ${\displaystyle {\mathcal {W}}:L^{2}(\mathbb {R} )\longrightarrow \ell ^{2}(\mathbb {Z} ^{2})}$ on Hilbertin avaruuksien välinen unitaarinen operaattori, jonka käänteismuunnos (eli synteesioperaattori) on

${\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {c}})(x)=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}\psi _{j,k}(x)}$,

millä tahansa ${\displaystyle {\boldsymbol {c}}=(c_{j,k})\in \ell ^{2}(\mathbb {Z} ^{2})}$.^[3]

Lähteet

Kirjallisuutta

• Boggess, Albert; Narcowich, Francis J.: A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. New Jersey, USA: John Wiley & Sons, 2015.

• Daubechies, Ingrid: Ten lectures on wavelets. Pennsylvania, USA: SIAM, 1992. ISBN 0-89871-274-2.

• Mallat, Stéphane: A Wavelet Tour of Signal Processing. USA: Elsevier, 1999. ISBN 978-0-12-466606-1.