Äärellinen yksinkertainen ryhmä

Ryhmäteoriassa äärellinen yksinkertainen ryhmä on äärellinen ryhmä, jolla ei ole ei-triviaaleja normaaleja aliryhmiä. Äärellisten ryhmien luokittelulauseen mukaan jokainen tällainen ryhmä on joko syklinen, alternoiva, Lien tyyppinen tai jokin 26:sta sporadisesta ryhmästä.^[1]

Äärettömät perheet

Sykliset, alternoivat ja Lien tyypin ryhmät ovat numeroituvasti äärettömiä yksinkertaisten ryhmien perheitä:

• sykliset ryhmät ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$
• alternoivat ryhmät ${\displaystyle A_{n}}$ kun ${\displaystyle n\geq 5}$
• klassiset Chevalleyn ryhmät ${\displaystyle A_{n}(q)}$, ${\displaystyle B_{n}(q)}$ (${\displaystyle n>1}$), ${\displaystyle C_{n}(q)}$ (${\displaystyle n>2}$), ${\displaystyle D_{n}(q)}$ (${\displaystyle n>3}$)
• poikkeukselliset Chevalleyn ryhmät ${\displaystyle E_{6}(q)}$, ${\displaystyle E_{7}(q)}$, ${\displaystyle E_{8}(q)}$, ${\displaystyle F_{4}(q)}$, ${\displaystyle G_{2}(q)}$
• klassiset Steinbergin ryhmät ${\displaystyle {}^{2}A_{n}(q^{2})}$ (${\displaystyle n>1}$), ${\displaystyle {}^{2}D_{n}(q^{2})}$ (${\displaystyle n>3}$)
• poikkeukselliset Steinbergin ryhmät ${\displaystyle {}^{2}E_{6}(q^{2})}$, ${\displaystyle {}^{3}D_{4}(q^{3})}$
• Suzukin ryhmät ${\displaystyle {}^{2}B_{2}(q)}$ (${\displaystyle q=2^{2n+1}}$, ${\displaystyle n\geq 1}$)
• Reen ryhmät ${\displaystyle ^{2}F_{4}(q)}$ (${\displaystyle q=2^{2n+1}}$, ${\displaystyle n\geq 1}$), Titsin ryhmä ${\displaystyle {}^{2}F_{4}(2)'}$
• Reen ryhmät ${\displaystyle {}^{2}G_{2}(q)}$ (${\displaystyle q=3^{2n+1}}$, ${\displaystyle n\geq 1}$)

Sporadiset ryhmät

Sporadisia ryhmiä on yhteensä 26 kappaletta:^[2]

• Mathieun ryhmät M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃, M₂₄
• Jankon ryhmät J₁, J₂, J₃, J₄
• Conwayn ryhmät Co₃, Co₂, Co₁
• Fischerin ryhmät Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄'
• Higmanin–Simsin ryhmä HS
• McLaughlinin ryhmä McL
• Heldin ryhmä He
• Rudvalisin ryhmä Ru
• Suzukin sporadinen ryhmä Suz
• O'Nanin ryhmä O'N
• Haradan–Nortonin ryhmä HN
• Lyonsin ryhmä Ly
• Thompsonin ryhmä Th
• "Baby Monster" -ryhmä B
• "Monster"-ryhmä M

Lähteet

• Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0. (englanniksi)

Viitteet