Zenbaki elkarrekiko lehenak

Matematikan, elkarrekiko lehenak diren zenbakiak, elkarren artean faktore lehen komunik ez duten bi zenbaki oso, a eta b, dira. Beste modu batera esanda, 1 eta -1ez gain ez badute beste zatitzaile komunik. Elkarrekiko lehenak dira, baldin eta soilik baldin, haien zatitzaile komun handiena 1 bada, hau da, a eta b zenbaki osoak badira a eta b elkarrekiko lehenak dira baldin eta zkh(a,b)=1 bada^[1][2][3][4]

Adibidez, 6 eta 35 elkarrekiko lehenak dira, baina 6 eta 27 ez dira zeren eta biak 3 zenbakiak zatitzen ditu.

Bi zenbaki elkarrekiko lehenak diren jakiteko modu azkar bat Euclidesen algoritmoa erabiltzea da.

Propietateak

Oinarrizkoak

• Elkarrekiko lehenak diren bi zenbakiren arteko zatitzaile komun handiena 1 da. Hori dela eta, ez da existitzen biak zatituko dituen zenbaki lehenik, zkh${\displaystyle (a,b)=1}$ ^[1][2].

• ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ elkarrekiko lehenak badira, orduan existitzen dira bi zenbaki, ${\displaystyle x}$ eta y non ${\displaystyle a\cdot x+b\cdot y=1}$ den. (Bézout-en identitatea)
• ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ elkarrekiko lehenak badira eta ${\displaystyle a|bc}$ orduan ${\displaystyle a|c}$.(Euklidesen lema)
• ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ zenbaki osoak elkarrekiko lehenak dira baldin ${\displaystyle b}$-k alderantzizko bat badu modulu ${\displaystyle a}$ produkturako, hau da, existitzen da zenbaki oso bat y non ${\displaystyle b\cdot y\equiv 1}$ (mod a). Honen ondorio bat da ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ elkarrekiko lehenak badira eta ${\displaystyle bm\equiv bn~(mod~a)}$, orduan ${\displaystyle m\equiv n~(mod~a)}$. Beste modu batera esanda, ${\displaystyle b}$ sinplifika daiteke ${\displaystyle a}$ moduluko osokoen Z/nZ eraztunean.
• ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ zenbaki arruntak, elkarrekiko lehenak badira, ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle ab}$, ${\displaystyle b^{2}}$ere bai.
• ${\displaystyle m}$ eta ${\displaystyle n}$ zenbaki oso positiboak elkarrekiko lehenak badira, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle m+n}$ ere bai.

Beste Propietate Batzuk

• ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ zenbaki osoak elkarrekiko lehenak dira baldin eta soilik baldin, koordenatu sistema kartesiar batean ${\displaystyle (a,b)}$ koordenatua ${\displaystyle (0,0)}$ jatorrik ikus badaiteke. Hau da, ez dago beste koordenatu punturik ${\displaystyle (a,b)}$ eta ${\displaystyle (0,0)}$ren artean.(Ikus 1 irudia);
• Ausaz hartutako bi zenbakik elkarrekiko lehenak izateko duten probabilitatea ${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$ da.^[3]
• Bi zenbaki arrunt a eta b elkarrekiko lehenak dira, baldin eta soilik baldin, ${\displaystyle 2^{a}-1}$ eta ${\displaystyle 2^{b}-1}$ elkarrekiko lehenak badira.^[5]
• Zenbaki oso positibo batekiko, ${\displaystyle n}$, elkarrekiko lehenak diren zenbaki osoen kopurua, ${\displaystyle 1}$ eta ${\displaystyle n}$ bitartean, Eulerren ${\displaystyle \varphi (n)}$funtzioak ematen du .
• Bi zenbaki ondoz ondokoak badira, elkarrekiko lehenak dira. (Hori erraz ikus daiteke Euclidesen Algoritmoa erabilita).

Elkarrekiko Lehenak Izateko Probabilitatea

Bi ausaz aukeratutako zenbaki oso ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ hartuz gero, normala izango litzateke hauek ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ elkarren artean lehenak izateko duten probabilitateaz galdetzea. Hau egiaztatzeko, ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ elkarren artean lehenak direla esango dugu, baldin eta soilik baldin bi zenbakiak beste zenbaki lehen edozeinek ez baditu zatitzen (ikusi Aritmetikaren oinarrizko teorema).

Beste edozein zenbaki lehen (edo beste oso) ${\displaystyle p}$ batek zatitzeko probabilitatea ${\displaystyle 1/p}$ da; adibidez, 7. oso bakoitza zazpi zenbakiaz zatigarria da. Hori dela eta, bi zenbaki ${\displaystyle p}$-k zatitzeko probabilitatea ${\displaystyle 1/p^{2}}$da. Edozein zenbaki lehen ezberdinekin loturiko zatigarritasun gertaeren bilduma finkoa elkar independentea da. Esaterako, bi zenbakiko kasuan, zenbaki bat ${\displaystyle p}$ eta ${\displaystyle q}$lehenekiko zatigarria izango da baldin eta soilik baldin ${\displaystyle pq}$-rekiko ere zatigarria bada. Arrazoiketa hori zatigarritasun gertakari infinituetara hedatu daitekeelako suposizio heuristikoa egiten badugu, bi zenbaki elkarrekiko lehenak izateko probabilitatea, zenbaki guztien gaineko produktu batek ematen du,

${\displaystyle \prod _{prime~p}{\Biggl (}1-{\frac {1}{p^{2}}}{\Biggl )}={\Biggl (}\prod _{prime~p}{\frac {1}{1-p^{-2}}}{\Biggl )}^{-1}={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 0.607927102\approx 61\%}$

Hemen ζ Riemann en zeta funtzioari dagokio, zenbaki lehenen produktua ζ (2) gainean erlazionatzen duen identitatea, Eulerren produktu baten adibidea da, eta ζ(2) ebaluazioa π²/6 bezala Baselen problema da, Leonhard Eulerrek ebatzia 1735 ean.

Ez dago ausazko zenbaki positibo bat hautatzeko modurik, zenbaki positibo bakoitza probabilitate berarekin gertatzeko, baina hauei (ausaz hautatutako zenbaki osoak) buruzko adierazpenak, aurrekoak bezala, dentsitate naturalaren nozioarekin formalizatu daitezke. Zenbaki oso positibo N bakoitzarentzat, ausaz autatutako ${\displaystyle \{1,2,...,N\}}$ bi zenbaki elkarrekiko lehenak izateko probabilitatea P_N izango da. Nahiz eta P_N ez den inoiz ${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$ ren berdina izango zehazki, batek lana eginez^[6], ${\displaystyle N\longrightarrow \infty }$ limitean probabilitatea ${\displaystyle P_{N}}$, ${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$ ra gerturatzen dela frogatu lezake.

Oro har, ausaz hautatutako k zenbaki elkarren artean lehenak izateko probabilitatea ${\displaystyle 1/\zeta (k)}$ da.

Elkarrekiko Zenbaki Lehen Bikote Guztiak Sortzen

Elkarrekiko lehenak diren zenbaki bikote guztiak ${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle (m>n)}$, disjuntoak diren bi zuhaitz hirutarretan antolatu daitezke. Zuhaitz bat ${\displaystyle (2,1)}$-etik hasita (bakoiti-bikoiti eta bikioiti-bakoiti bikoteentzat)^[7] eta bestea ${\displaystyle (3,1)}$-etik hasita (bakoiti-bakoiti bikoteentzat)^[8]. Erpin ${\displaystyle (m,n)}$ batetik ateratzen diren adar guztiak, honela sortuta daude:

• 1 Adarra: ${\displaystyle (2m-n,m)}$

• 2 Adarra: ${\displaystyle (2m+n,m)}$
• 3 Adarra: ${\displaystyle (m+2n,n)}$

Eskema hau guztiz baliogabea eta ez-erredundantea da, kide baliogaberik gabe.

Erreferentziak

Kanpo estekak

• Datuak: Q104752
• Multimedia: Coprime integers / Q104752