Talde abeldar

Aljebra abstraktuan ${\displaystyle (A,\circledast )}$ talde abeldarra da ${\displaystyle A}$multzorako ${\displaystyle \circledast }$eragiketa elkartze eta trukatze propietateak eta elementu alderantzizko eta neutroaren existentzia betetzen dituen egitura aljebraikoa.

Definizioa

${\displaystyle A\neq \emptyset }$ multzoa eta ${\displaystyle \circledast }$eragiketa (aplikazioa edo funtzioa) talde bat eratzen dute propietate hauek betetzen dituenean:

• ${\displaystyle \circledast }$eragiketa ${\displaystyle A}$-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: ${\displaystyle \forall a,b,c\in A:(a\circledast b)\circledast c=a\circledast (b\circledast c)}$
• ${\displaystyle \circledast }$Propietate trukakorra betetzen du, hau da: ${\displaystyle \forall a,b\in A:a\circledast b=b\circledast a}$
• Existitzen da ${\displaystyle e\in A}$non ${\displaystyle \forall a\in A:a\circledast e=a=e\circledast a}$. ${\displaystyle e}$${\displaystyle \circledast }$eragiketarekiko elementu neutroa moduan denotatuko dugu.
• ${\displaystyle A}$-ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa (simetrikoa), hau da: ${\displaystyle \forall a\in A,\exists a'\in A:a\circledast a'=e=a'\circledast a}$

Lau propietate hauek betetzen dituzten multzoa eta eragiketa (edo aplikazio) talde abeldar bat eratzen dute.

Adibideak

${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$taldea da, gainera talde abeldarra da ere trukatze propietatea betetzen delako.

Hartu ${\displaystyle A=\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}}$(zenbaki arruntak) eta ${\displaystyle \circledast =+}$(batuketa):

${\displaystyle (i)}$${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} :(a+b)+c=a+(b+c)}$

${\displaystyle (ii)}$${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {N} :a\circledast b=b\circledast a}$

${\displaystyle (ii)}$Batuketarekiko elementu neutroa, ${\displaystyle 0}$ ez dago multzo barruan.

Batuketarekiko elementu neutroa ez denez existitzen multzo barruan, orduan ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ez da taldea beraz ez da talde abeldarra.

Adibide gehiago ${\displaystyle +}$ (gehiketa) eta ${\displaystyle \cdot }$(biderketarekin):

Talde abeldarrak: ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+),(\mathbb {Q} ,+),(\mathbb {R} ,+),(\mathbb {R^{n}} ,+),(M_{n}(\mathbb {R} ),+),(M_{mxn}(\mathbb {R} ),+),(\mathbb {C} ,+),(\mathbb {C^{n}} ,+),(M_{n}(\mathbb {C} ),+),(M_{mxn}(\mathbb {C} ),+)}$

Ez-taldeak: ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\cdot ),(\mathbb {Q} ,\cdot ),(\mathbb {R} ,\cdot ),(\mathbb {R^{n}} ,\cdot ),(M_{n}(\mathbb {R} ),\cdot ),(M_{mxn}(\mathbb {R} ),\cdot ),(\mathbb {C} ,\cdot ),(\mathbb {C^{n}} ,\cdot ),(M_{n}(\mathbb {C} ),\cdot ),(M_{mxn}(\mathbb {C} ),\cdot )}$Zenbaki multzo gehienak ez dira biderkaketarekiko taldeak ${\displaystyle 0}$-ren alderantzizkorik ez delako existitzen, hau da, ${\displaystyle \nexists a^{-1}\in A:0\cdot a^{-1}=1}$.

Kanpo estekak

• Datuak: Q181296
• Multimedia: Abelian groups / Q181296