Katearen erregela edo katearen araua, bi funtzioren konposizioaren deribatua lortzeko formula da. Kalkulu aljebraikoan deribatuen kalkulua egiteko erabilgarria da, funtzio konposatuak daudenean.
Arauaren deskribapena
Intuitiboki, y aldagaia badugu, eta bigarren u aldagai baten menpe badago (y=f(u)), aldi berean hirugarren aldagai x baten menpe dagoena (u=g(x)); y-ren x-rekiko aldaketa-tasa kalkula daiteke, y-ren u-rekiko aldaketa tasa eta u-ren x-rekiko aldaketa-tasaren biderkadura eginez.
Deskribapen aljebraikoa
Termino aljebraikoetan, katearen erregeak (aldagai bakarreko funtzioetarako) honakoa adierazten du:
deribagarria baldin bada
aldagaiarekiko eta
funtzioa deribagarria bada
aldagaiarekiko, orduan
funtzio konposatua deribagarria da
aldagaiarekiko. Deribatuaren kalkulua honela egin daiteke:
![{\displaystyle (g\circ f)'(x)={\frac {d(g\circ f)}{dx}}={\frac {d\;g(f(x))}{dx}}={\frac {d}{dx}}\;g(f(x))=g'(f(x))\cdot f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ba798bea1898df7a5b52ca9f0ff749457449e7)
Leibniz notazioa
Bestela, Leibniz notazioan, katearen araua honela adieraz daiteke:
non
adierazpenak dio deribatu hori egitean g funtzioa f-ren araberako aldagai askea balitz bezala aztertzen dela.
Goi ordenako deribatuak
Faà di Bruno formulek katearen araua goi mailako deribatuetara orokortzen dute. Hauetako batzuk hauek dira:
![{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01c5da45fbbe5846059bac054d3784e1d6611c4)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c07bc51b391251009614e2da4f8e50b768b32c)
![{\displaystyle {\frac {d^{3}f}{dx^{3}}}={\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{3}+3{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e51d6b4e1e2bd132cb0ee9b535f2e19081293fa7)
![{\displaystyle {\frac {d^{4}f}{dx^{4}}}={\frac {d^{4}f}{dg^{4}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{4}+6{\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left\{4{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}+3\left({\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}\right)^{2}\right\}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{4}g}{dx^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbdd96eb1fd673f607e3870f36ebc3ce97ad4642)
Ikus, gainera
Kanpo estekak
- (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "Chain Rule" MathWorld-en. (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "Chain Rule" MathWorld-en. (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "Chain Rule" MathWorld-en.