Faktorial

Edozein n zenbakiaren faktoriala, n zenbaki arrunta izanik, 1 eta n artean dauden zenbaki natural guztien biderkaduraren emaitza da. Adibidez:

${\displaystyle 5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5}$

n! notazioa Christian Kramp matematikariak sortu zuen.

Adierazpen orokorra

${\displaystyle n!=1\times 2\times 3\times ...\times (n-1)\times n}$

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k}$

Lehenengo faktorialak

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n!}$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800

Zero faktoriala (0!)

0!=1 definituta dago ondorengo propietatea bete dadin:

${\displaystyle {\bigg [}(n-1)!={\frac {n!}{n}}{\bigg ]}=[n\cdot (n-1)!=n!]}$

Propietate honen bidez, ikus dezakegu adibidez 4!=24 izango dela, jakinik 5!=120:

${\displaystyle {\frac {5!}{5}}={\frac {120}{5}}=24}$

Erregela hau n=1-ri aplikatuz gero, 0!-ren balioa lor dezakegu:

${\displaystyle 0!={\frac {1!}{1}}={\frac {1}{1}}=1}$

Propietate nagusiak

1. m < n bada (zenbaki arruntak izanik), orduan m! < n! izango da.
2. ${\displaystyle n!<\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{n}}$ edozein n > 1 -entzako.
3. m < n bada, orduan lehenengo propietatea kontuan harturik, m! n!-ren zatitzailea izango da: n! = n(n-1)...(m+1).m!
4. n-m zenbakia n baino txikiagoa izanik, hirugarren propietatean m-ren ordez n-m ordezkatuz ondoko adierazpena lortuko dugu: n! = n(n-1)...(n-m+1).(n-m)

Aplikazioak

Faktorialak konbinatoria izeneko matematikaren adarrean erabiltzen dira batez ere. Hauek, n zenbaki ordenatzeko aukera desberdinen kopurua ematen digute, errepikapenik eman gabe. Aurreko adibidean, n=5 harturik, 120 aukera desberdin edukiko ditugu 5 zebaki ordenatzeko.

Newtonen binomioan ere erabili ohi dira, (a + b)ⁿ -ren garapenean koefizienteak emateko; non ${\displaystyle {n \choose k}}$-k koefiziente binominala adierazten duen:

${\displaystyle (a+b)^{n}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+\cdots +{n \choose n-1}ab^{n-1}+{n \choose n}b^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}$

${\displaystyle C_{n,k}={\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}}}$

n -k oso balio handiak hartzen dituen kasuetarako, n-ren faktorialerako hurbilketa bat existitzen da, Stirling-en formulaz ezaguna dena:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}+\cdots \right)}$

Formula honek, n gero eta handiagoa izan, n! orduan eta azkarrago ebaluatzen ahalbidetzen digu.

Ikus, gainera

• Stirlingen hurbilketa

Kanpo estekak

• Datuak: Q120976
• Multimedia: Factorial (function) / Q120976