Secuencia aritmético-geométrica

En matemáticas, la secuencia aritmético-geométrica es el resultado de la multiplicación término por término de una progresión geométrica con los términos correspondientes de una progresión aritmética . En pocas palabras, el término n de una secuencia aritmético-geométrica es el producto del término n-ésimo de una secuencia aritmética y el término n-ésimo de una geométrica.[1]​ Las secuencias aritmético-geométricas surgen en diversas aplicaciones, como el cálculo de valores esperados en la teoría de la probabilidad. Por ejemplo, la secuencia:

0 1 ,   1 2 ,   2 4 ,   3 8 ,   4 16 ,   5 32 , ⋯ {\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }

es una secuencia aritmético-geométrica. El componente aritmético aparece en el numerador (en azul), y el geométrico en el denominador (en verde).

La suma de esta sucesión infinita se conoce como serie aritmético-geométrica, y su forma más básica se ha denominado escalera de Gabriel:[2]​[3]​[4]​

∑ k = 1 ∞ k r k = r ( 1 − r ) 2 , p a r a   0 < r < 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\color {blue}k}{\color {green}r^{k}}={\frac {r}{(1-r)^{2}}},\quad \mathrm {para\ } 0<r<1}

La denominación también puede aplicarse a diferentes objetos que presenten características tanto de secuencias aritméticas como geométricas; por ejemplo, la noción francesa de secuencia aritmético-geométrica se refiere a secuencias de la forma u n + 1 = a u n + b {\displaystyle u_{n+1}=au_{n}+b} , que generalizan tanto las sucesiones aritméticas como las geométricas. Tales secuencias son un caso especial de ecuaciones en diferencias lineales.

Términos de la secuencia

Los primeros términos de una sucesión aritmético-geométrica compuesta por una progresión aritmética (en azul) con diferencia d {\displaystyle d} y valor inicial a {\displaystyle a} y una progresión geométrica (en verde) con valor inicial b {\displaystyle b} y razón común r {\displaystyle r} están dados por:[5]​

t 1 = a b t 2 = ( a + d ) b r t 3 = ( a + 2 d ) b r 2   ⋮ t n = [ a + ( n − 1 ) d ] b r n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}}

Ejemplo

Por ejemplo, la secuencia

0 1 ,   1 2 ,   2 4 ,   3 8 ,   4 16 ,   5 32 , ⋯ {\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }

es definida por d = b = 1 {\displaystyle d=b=1} , a = 0 {\displaystyle a=0} , y r = 1 2 {\displaystyle r={\frac {1}{2}}} .

Suma de los términos

La suma de los primeros n términos de una sucesión aritmético-geométrica tiene la forma:

S n = ∑ k = 1 n t k = ∑ k = 1 n [ a + ( k − 1 ) d ] b r k − 1 = a b + [ a + d ] b r + [ a + 2 d ] b r 2 + ⋯ + [ a + ( n − 1 ) d ] b r n − 1 = A 1 G 1 + A 2 G 2 + A 3 G 3 + ⋯ + A n G n , {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]br^{k-1}\\&=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\\&=A_{1}G_{1}+A_{2}G_{2}+A_{3}G_{3}+\cdots +A_{n}G_{n},\end{aligned}}}

donde A i {\displaystyle A_{i}} y G i {\displaystyle G_{i}} son los i-ésimos términos de la sucesión aritmética y geométrica, respectivamente.

Esta suma tiene la expresión de forma cerrada:[6]​

S n = a b − ( a + n d ) b r n 1 − r + d b r ( 1 − r n ) ( 1 − r ) 2 = A 1 G 1 − A n + 1 G n + 1 1 − r + d r ( 1 − r ) 2 ( G 1 − G n + 1 ) = a ( 1 − r n ) 1 − r + d r ( 1 − n r n − 1 + ( n − 1 ) r n ) ( 1 − r ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ab-(a+nd)\,br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1})\\&={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}+{\frac {dr(1-nr^{n-1}+(n-1)r^{n})}{(1-r)^{2}}}\end{aligned}}}

Prueba

Multiplicando la expresión de la secuencia:[5]​

S n = a b + [ a + d ] b r + [ a + 2 d ] b r 2 + ⋯ + [ a + ( n − 1 ) d ] b r n − 1 {\displaystyle S_{n}=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}}

por r, da

r S n = a b r + [ a + d ] b r 2 + [ a + 2 d ] b r 3 + ⋯ + [ a + ( n − 1 ) d ] b r n . {\displaystyle rS_{n}=abr+[a+d]br^{2}+[a+2d]br^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n}.}

Restando rSn de Sn, y usando la técnica de series telescópicas obtenemos:

( 1 − r ) S n = [ a b + ( a + d ) b r + ( a + 2 d ) b r 2 + ⋯ + [ a + ( n − 1 ) d ] b r n − 1 ] − [ a b r + ( a + d ) b r 2 + ( a + 2 d ) b r 3 + ⋯ + [ a + ( n − 1 ) d ] b r n ] = a b + d b ( r + r 2 + ⋯ + r n − 1 ) − [ a + ( n − 1 ) d ] b r n = a b + d b ( r + r 2 + ⋯ + r n − 1 + r n ) − ( a + n d ) b r n = a b + d b r ( 1 + r + r 2 + ⋯ + r n − 1 ) − ( a + n d ) b r n = a b + d b r ( 1 − r n ) 1 − r − ( a + n d ) b r n = a b − ( a + n d ) r n b + d b r ( 1 − r n ) 1 − r {\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)S_{n}={}&\left[ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\right]\\[5pt]&{}-\left[abr+(a+d)br^{2}+(a+2d)br^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n}\right]\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]br^{n}\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+dbr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+{\frac {dbr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)br^{n}\\[5pt]={}&{ab-(a+nd)r^{n}}b+{\frac {dbr(1-r^{n})}{1-r}}\end{aligned}}}

donde la última igualdad resulta de la expresión para la suma de una serie geométrica.

Finalmente, dividir por 1 − r da el resultado:

S n = a b − ( a + n d ) b r n 1 − r + d b r ( 1 − r n ) ( 1 − r ) 2 = a b ( 1 − r n ) 1 − r − n b d r n 1 − r + d b r ( 1 − r n ) ( 1 − r ) 2 = a b ( 1 − r n ) 1 − r − n b d r n ( 1 − r ) ( 1 − r ) 2 + d b r ( 1 − r n ) ( 1 − r ) 2 = a b ( 1 − r n ) 1 − r + d b r ( 1 − n r n − 1 + ( n − 1 ) r n ) ( 1 − r ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}={}&{\frac {ab-(a+nd)br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\[5pt]={}&{\frac {ab(1-r^{n})}{1-r}}-{\frac {nbdr^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\[5pt]={}&{\frac {ab(1-r^{n})}{1-r}}-{\frac {nbdr^{n}(1-r)}{(1-r)^{2}}}+{\frac {dbr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\[5pt]={}&{\frac {ab(1-r^{n})}{1-r}}+{\frac {dbr(1-nr^{n-1}+(n-1)r^{n})}{(1-r)^{2}}}\end{aligned}}}

Serie infinita

Si −1 < r < 1, entonces la suma S de la serie aritmético-geométrica, es decir, la suma de todos los infinitos términos de la progresión, viene dada por[5]​

S = ∑ k = 1 ∞ t k = lim n → ∞ S n = a b 1 − r + d b r ( 1 − r ) 2 = A 1 G 1 1 − r + d G 1 r ( 1 − r ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}S&=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}\\&={\frac {ab}{1-r}}+{\frac {dbr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}}{1-r}}+{\frac {dG_{1}r}{(1-r)^{2}}}.\end{aligned}}}

Si r está fuera del rango anterior, la serie:

  • diverge (cuando r > 1, o cuando r = 1 donde la serie es aritmética y a y d no son ambos cero; si tanto a como d son cero en el último caso, todos los términos de la serie son cero y la serie es constante )
  • o se alterna (cuando r ≤ −1).

Ejemplo: aplicación a valores esperados

Por ejemplo, la suma:

S = 0 1 + 1 2 + 2 4 + 3 8 + 4 16 + 5 32 + ⋯ {\displaystyle S={\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}}+\cdots } ,

siendo la suma de una serie aritmético-geométrica definida por d = b = 1 {\displaystyle d=b=1} , a = 0 {\displaystyle a=0} , y r = 1 2 {\displaystyle r={\frac {1}{2}}} , converge a S = 2 {\displaystyle S=2} .

Esta secuencia corresponde al número esperado de lanzamientos de moneda antes de obtener "cruz". La probabilidad T k {\displaystyle T_{k}} de obtener cruz por primera vez en el k-ésimo lanzamiento es la siguiente:

T 1 = 1 2 ,   T 2 = 1 4 , … , T k = 1 2 k {\displaystyle T_{1}={\frac {1}{2}},\ T_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T_{k}={\frac {1}{2^{k}}}} .

Por lo tanto, el número esperado de lanzamientos está dado por:

∑ k = 1 ∞ k T k = ∑ k = 1 ∞ k 2 k = S = 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }kT_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blue}k}{\color {green}2^{k}}}=S=2} .

Referencias

  1. ↑ «Arithmetic-Geometric Progression | Brilliant Math & Science Wiki». brilliant.org (en inglés estadounidense). Consultado el 21 de abril de 2021. 
  2. ↑ Swain, Stuart G. (2018). «Proof Without Words: Gabriel's Staircase». Mathematics Magazine 67 (3): 209-209. ISSN 0025-570X. doi:10.1080/0025570X.1994.11996214. 
  3. ↑ Edgar, Tom (2018). «Staircase Series». Mathematics Magazine 91 (2): 92-95. ISSN 0025-570X. doi:10.1080/0025570X.2017.1415584. 
  4. ↑ Weisstein, Eric W. «Gabriel's Staircase». MathWorld. 
  5. ↑ a b c Riley, Ken; Hobson, Michael; Bence, Stephen (2010). Mathematical methods for physics and engineering (en inglés) (Tercera edición). Cambridge University Press. p. 118. ISBN 978-0-521-86153-3. Consultado el 16 de enero de 2022. 
  6. ↑ Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Liu, John (2014). Jesús Mares Chacón, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada (4 edición). México D.F.: McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A. de C.V. ISBN 978-607-15-1145-4. 

Bibliografía

  • Khattar, Dinesh. The Pearson Guide to Mathematics for the IIT-JEE, 2/e (New Edition) (en inglés). Pearson Education India. p. 10.8. ISBN 81-317-2876-5. 
  • Gupta, Parmanand. Comprehensive Mathematics XI (en inglés). Laxmi Publications. p. 380. ISBN 81-7008-597-7.