Relaciones de Cardano-Vieta

Sea el polinomio P ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + . . . + a k z k {\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+...+a_{k}z^{k}\,} perteneciente a C[z], de grado k y coeficientes en el cuerpo ℂ de los números complejos, y sean sus k raíces z 1 , z 2 , z 3 , . . . , z k {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},...,z_{k}\,} (pertenecientes a C [1]​), entonces se satisfacen exactamente las siguientes k distintas igualdades :

z 1 ∗ z 2 ∗ z 3 ∗ . . . ∗ z k = ( − 1 ) k ∗ a 0 a k {\displaystyle z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k}=(-1)^{k}*{a_{0} \over a_{k}}}

z 1 ∗ z 2 ∗ z 3 ∗ . . . ∗ z k − 1 + . . . + z 2 ∗ z 3 ∗ . . . z k = ( − 1 ) k − 1 ∗ a 1 a k {\displaystyle z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k-1}+...+z_{2}*z_{3}*...z_{k}=(-1)^{k-1}*{a_{1} \over a_{k}}}

. . .

z 1 ∗ z 2 ∗ z 3 ∗ . . . ∗ z j + . . . + z k − j + 1 ∗ z k − j + 2 ∗ . . . z k = ( − 1 ) j ∗ a k − j a k {\displaystyle z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{j}+...+z_{k-j+1}*z_{k-j+2}*...z_{k}=(-1)^{j}*{a_{k-j} \over a_{k}}}

. . .

z 1 ∗ z 2 + z 1 ∗ z 3 + . . . + z k − 1 ∗ z k = ( − 1 ) 2 ∗ a k − 2 a k = a k − 2 a k {\displaystyle z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}+...+z_{k-1}*z_{k}=(-1)^{2}*{a_{k-2} \over a_{k}}={a_{k-2} \over a_{k}}}

z 1 + z 2 + z 3 + . . . + z k = ( − 1 ) 1 ∗ a k − 1 a k = − a k − 1 a k {\displaystyle z_{1}+z_{2}+z_{3}+...+z_{k}={(-1)^{1}*a_{k-1} \over a_{k}}=-{a_{k-1} \over a_{k}}}

Cada ecuación sumará todos los posibles productos que se formarán con j raíces y lo igualará el cociente (con su signo correspondiente) entre el coeficiente j-ésimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio.

Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raíces. Cabe destacar que si conocemos k raíces de un polinomio de grado k, podremos encontrar a partir de estas relaciones un único polinomio de grado k que posea estas raíces (a menos de una constante multiplicativa).

Demostración

Factorizamos el polinomio:

P ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + . . . + a k z k = a k ( z − z 1 ) ( z − z 2 ) ( z − z 3 ) ⋯ ( z − z k ) {\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+...+a_{k}z^{k}=a_{k}(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{3})\cdots (z-z_{k})\,}

Y realizamos el producto del miembro de la derecha y comparamos los coeficientes de cada término z j {\displaystyle z^{j}} , donde 0 ≤ j < k {\displaystyle 0\leq j<k} :

a k − 1 = ( − 1 ) 1 ∗ a k ∗ ( z 1 + z 2 + z 3 + . . . + z k ) {\displaystyle a_{k-1}=(-1)^{1}*a_{k}*(z_{1}+z_{2}+z_{3}+...+z_{k})}

a k − 2 = ( − 1 ) 2 ∗ a k ∗ ( z 1 ∗ z 2 + z 1 ∗ z 3 + . . . + z k − 1 ∗ z k ) {\displaystyle a_{k-2}=(-1)^{2}*a_{k}*(z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}+...+z_{k-1}*z_{k})}

… {\displaystyle \ldots }

a j = ( − 1 ) k − j ∗ a k ∗ ( z 1 ∗ z 2 ∗ z 3 ∗ . . . ∗ z j + . . . + z k − j + 1 ∗ z k − j + 2 ∗ . . . z k ) {\displaystyle a_{j}=(-1)^{k-j}*a_{k}*(z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{j}+...+z_{k-j+1}*z_{k-j+2}*...z_{k})}

… {\displaystyle \ldots }

a 1 = ( − 1 ) k − 1 ∗ a k ∗ ( z 1 ∗ z 2 ∗ z 3 ∗ . . . ∗ z k − 1 + . . . + z 2 ∗ z 3 ∗ . . . z k ) {\displaystyle a_{1}=(-1)^{k-1}*a_{k}*(z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k-1}+...+z_{2}*z_{3}*...z_{k})}

a 0 = ( − 1 ) k ∗ a k ∗ ( z 1 ∗ z 2 ∗ z 3 ∗ . . . ∗ z k ) {\displaystyle a_{0}=(-1)^{k}*a_{k}*(z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k})}

De aquí ya se obtienen de inmediato las fórmulas de Cardano-Vieta.

Referencias

  1. ↑ Por ser ℂ algebraicamente cerrado y por el Teorema fundamental del álgebra
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