Radical de un álgebra de Lie

En la teoría matemática de álgebras de Lie, el radical de un álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ es el mayor ideal soluble de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$^[1]​

El radical, denotado como ${\displaystyle {\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$, se ajusta a la sucesión exacta

${\displaystyle 0\to {\rm {rad}}({\mathfrak {g}})\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})\to 0}$

donde ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$ es un álgebra de Lie semisimple. Cuando el cuerpo base tiene característica cero y ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ tiene dimensión finita, el teorema de Levi afirma que esta sucesión exacta es divisible; es decir, existe una subálgebra (necesariamentem semisimple) de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ que es isomorfa al cociente semisimple ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$ a través de la restricción del mapa del cociente ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\ a{\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}}).}$. Una noción similar es la de subálgebra de Borel, que es una subálgebra (no necesariamente única) maximalmente soluble.

Definición

Sea ${\displaystyle \mathbb {K} }$ un cuerpo algebraico y sea ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ un álgebra de Lie de dimensión finita sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$, entonces existe un único ideal soluble máximo, llamado radical, por la siguiente razón:

En primer lugar, sean ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ y ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ dos ideales solubles de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Entonces ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$ es de nuevo un ideal de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, y es soluble porque es una extensión de ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}\simeq {\mathfrak {b}}/({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})}$ por ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$. Consideremos ahora la suma de todos los ideales solubles de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Es no vacía ya que ${\displaystyle \{0\}}$ es un ideal soluble, y es un ideal soluble por la propiedad de la suma que acabamos de derivar. Es evidente que es el único ideal soluble máximo.

Conceptos relacionados

• Un álgebra de Lie es semisimple si y sólo si su radical es ${\displaystyle 0}$.
• Un álgebra de Lie es reductora si y sólo si su radical es igual a su centro.

Véase también

• Descomposición de Levi

Referencias