Matriz booleana

Una matriz booleana es una matriz de números cuyas componentes o entradas son exclusivamente ceros o unos. Las matrices booleanas son útiles porque pueden representar objetos abstractos como relaciones binarias o grafos.

Una matriz booleana general de nxm elementos tiene la forma:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&.&.&.&a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&.&.&.&a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&.&.&.&a_{3m}\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&.&.&.&a_{nm}\\\end{pmatrix}}}$

Donde a_ij = 0 o a_ij = 1.

Ejemplos

Ejemplos de matrices booleanas son las siguientes:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Operaciones con matrices booleanas

Las operaciones que se pueden realizar entre matrices booleanas son tres: unión, conjunción y producto booleano. Sin embargo, estas operaciones no pueden realizarse sobre dos matrices cualesquiera, sino que deben cumplir ciertos criterios para poder llevarse a cabo. En particular, en el caso de la unión y la conjunción, las matrices que intervienen en la operación deben tener el mismo tamaño, y en el caso del producto booleano, las matrices deben cumplir con las mismas condiciones que para formar el producto de matrices.

Unión / Disyunción

Sean A, B y C matrices booleanas de nxm elementos. Se define ${\displaystyle A\vee B=C}$ la unión de A y B, por:

${\displaystyle C[i,j]={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}A[i,j]=1\ {o\ }B[i,j]=1\\0,&{\mbox{si }}A[i,j]=B[i,j]=0\end{cases}}}$

Intersección / Conjunción

Sean A, B y C matrices booleanas de nxm elementos. Se define ${\displaystyle A\land B=C}$ la intersección de A y B, por:

${\displaystyle C[i,j]={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}A[i,j]=B[i,j]=1\\0,&{\mbox{si }}A[i,j]=0\ {o\ }B[i,j]=0\end{cases}}}$

Otras operaciones matriciales

La traspuesta de una matriz booleana es también otra matriz booleana; pero las operaciones con matrices booleanas no siempre producen matrices booleanas. Un ejemplo de operación que no es interna para las matrices booleanas es la suma:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}}$

Sin embargo, si se consideran las operaciones no sobre números reales sino sobre elementos del cuerpo de característica 2 ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} _{2}\ =\ \{{\bar {0}},{\bar {1}}\}}$ queda garantizado que cualquier operación entre matrices booleana es boolena. Para el ejemplo anterior se tiene:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\bar {1}}&{\bar {0}}\\{\bar {0}}&{\bar {1}}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\bar {0}}&{\bar {1}}\\{\bar {0}}&{\bar {1}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\bar {1}}&{\bar {1}}\\{\bar {0}}&{\bar {0}}\end{bmatrix}}}$

Matriz booleana asociada a una relación

Dada relación binaria ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ sobre un conjunto de n elementos ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}}$, para calcular la clausuara simétrica conviene representar la relación como matriz booleana definida mediante:

${\displaystyle B_{\mathcal {R}}=[b_{ij}]\quad \land \quad b_{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{si}}\ a_{i}{\mathcal {R}}a_{j}\\0&{\mbox{si}}\ \lnot a_{i}{\mathcal {R}}a_{j}\end{cases}}}$

El grafo no dirigido de la figura adjunta puede entenderse como una relación binaria. Dos elementos están relacionados si existe una línea que los una directamente. La matriz asociada a la relación binaria de conexión directa se llama matriz de incidencia, que es una matriz booleana que viene dada por:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\end{bmatrix}}}$

El elemento ij de la anterior matriz es 1 si existe una línea que una directamente los círculos i y j y 0 en caso contrario.