Matriz aumentada

En álgebra lineal, la matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación.

Sean las matrices ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$, donde

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}}}$

Entonces la matriz aumentada ${\displaystyle (A|B)}$ se representa de la siguiente manera:

${\displaystyle (A|B)={\begin{bmatrix}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{bmatrix}}}$

Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados por matrices cuadradas. También se puede utilizar para encontrar la inversa de una matriz.

Ejemplos

Sea ${\displaystyle C}$ una matriz cuadrada de dimensiones 2x2 donde ${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}}$

Para encontrar la inversa de ${\displaystyle C}$, se crea ${\displaystyle (C|I)}$, donde ${\displaystyle I}$ es la matriz identidad de dimensiones 2x2. A continuación se transforma en la matriz identidad la parte de ${\displaystyle (C|I)}$ correspondiente a ${\displaystyle C}$, usando únicamente transformaciones de matriz elementales en ${\displaystyle (C|I)}$.

${\displaystyle (C|I)={\begin{bmatrix}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle (I|C^{-1})={\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{bmatrix}}}$

En álgebra lineal, se utiliza la matriz aumentada para representar los coeficientes así como las constantes de cada ecuación. Dado el conjunto de ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0\\3x_{1}+4x_{2}+7x_{3}=2\\6x_{1}+5x_{2}+9x_{3}=11\end{cases}}}$

la matriz aumentada estaría formada por:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}}}$

dando como resultado final:

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{bmatrix}}}$