J-invariante

En matemáticas, j-invariante de Klein o función j, considerada como una función de una variable compleja τ, es una forma modular de peso cero para SL(2, Z) definida sobre el semiplano positivo de números complejos. Es la única función tal que es holomorfa lejos de un polo simple de la cúspide tal que

${\displaystyle j\left(e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right)=0,\quad j(i)=1728.}$

Las funciones racionales de j son modulares, y de hecho proporcionan todas las funciones modulares. Clásicamente, el j-invariante se estudió como una parametrización de curvas elípticas sobre C, pero también tiene sorprendentes conexiones con las simetrías del grupo monstruo (esta conexión se refiere al monstrous moonshine).

Referencias

• Apostol, Tom M. (1976), Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 41, New York: Springer-Verlag, MR 0422157 .. Provides a very readable introduction and various interesting identities.
  • Apostol, Tom M. (1990), Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2nd edición), ISBN 0-387-97127-0, MR 1027834 .
• Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat (1999), «Ramanujan and the modular j-invariant», Canadian Mathematical Bulletin 42 (4): 427-440, MR 1727340, doi:10.4153/CMB-1999-050-1, archivado desde el original el 29 de septiembre de 2007, consultado el 5 de febrero de 2016 .. Provides a variety of interesting algebraic identities, including the inverse as a hypergeometric series.
• Cox, David A. (1989), Primes of the Form x^2 + ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, New York: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc., MR 1028322 . Introduces the j-invariant and discusses the related class field theory.
• Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), «Monstrous moonshine», Bulletin of the London Mathematical Society 11 (3): 308-339, MR 0554399, doi:10.1112/blms/11.3.308 .. Includes a list of the 175 genus-zero modular functions.
• Rankin, Robert A. (1977), Modular forms and functions, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, MR 0498390 .. Provides a short review in the context of modular forms.
• Schneider, Theodor (1937), «Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale», Math. Annalen 113: 1-13, MR 1513075, doi:10.1007/BF01571618 ..