Función gamma de Hadamard

En matemática, la función gamma de Hadamard, llamada en honor a Jacques Hadamard, es una extensión de la función factorial, diferente de la función Gamma. Esta función, con su argumento desplazado una unidad menos, interpola el factorial y lo extiende a los reales y números complejos de una manera diferente a la función Gamma de Euler. Se define como:

${\displaystyle H(x)={\frac {1}{\Gamma (1-x)}}\,{\dfrac {d}{dx}}\left\{\ln \left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}})}{\Gamma (1-{\frac {x}{2}})}}\right)\right\}}$

donde Γ(x) denota la función Gamma clásica. Si n es un entero positivo, entonces:

${\displaystyle H(n)=(n-1)!.\,}$

Propiedades

A diferencia de la función Gamma clásica, la función gamma de Hadamard H(x) es una función entera, i.e., esta no tiene polos en todo su dominio. Satisface la siguiente ecuación funcional

${\displaystyle H(x+1)=xH(x)+{\frac {1}{\Gamma (1-x)}}}$

Representaciones

La función gamma de Hadamard puede expresarse en términos de funciones digamma como

${\displaystyle H(x)={\frac {\psi \left(1-{\frac {x}{2}}\right)-\psi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}}\right)}{2\,\Gamma (1-x)}}}$

y como

${\displaystyle H(x)=\Gamma (x)\left[1+{\frac {\sin(\pi x)}{2\pi }}\left\{\psi \left({\dfrac {x}{2}}\right)-\psi \left({\dfrac {x+1}{2}}\right)\right\}\right],}$

donde ψ(x) denota la función digamma.

Referencias

• Hadamard, M. J. (1894), Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (en francés), OEuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968 .
• Srivastava, H. M.; Junesang, Choi (2012). Zeta and Q-Zeta Functions and Associated Series and Integrals. Elsevier insights. pp. 124. ISBN 0123852188. 
• «Introduction to the Gamma Function». The Wolfram Functions Site. Wolfram Research, Inc. Consultado el 27 de febrero de 2016.