Espacio pseudométrico

En matemáticas, y más específicamente en topología y análisis funcional, espacio pseudométrico es un concepto que generaliza el de espacio métrico, sustituyendo el concepto de distancia por el de pseudodistancia o pseudométrica, de tal forma que la pseudodistancia entre dos puntos distintos puede ser cero.^[1]​

Una pseudodistancia o, más generalmente, una familia de pseudodistancias determina en un conjunto una estructura uniforme. El espacio topológico resultante se denomina espacio de calibración o espacio gauge.

Reciprocamente, toda estructura uniforme puede ser inducida por una familia de pseudodistancias. En particular, una sola pseudodistancia es suficiente para determinar la estructura si y solo si existe un sistema fundamental de entornos numerable.

Definición y propiedades

Un espacio pseudométrico ${\displaystyle (X,d)}$ es un par formado por un conjunto ${\displaystyle X}$ y una función ${\displaystyle d\colon X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$ (denominada semidistancia o pseudométrica), con valores reales no negativos, tal que para todo ${\displaystyle x,y,z\in X}$,

1. ${\displaystyle d(x,x)=0}$.
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$ (simetría)
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ (desigualdad triangular)

De estas condiciones se deduce que la pseudodistancia no puede tomar valores negativos, ya que ${\displaystyle d(x,y)={\tfrac {1}{2}}(d(x,y)+d(y,x))\geq {\tfrac {1}{2}}d(x,x)=0}$.

Todo espacio métrico es un espacio pseudométrico. Sin embargo, en general, no se requiere que los puntos sean distinguibles; es decir, puede darse ${\displaystyle d(x,y)=0}$ para diferentes valores ${\displaystyle x\neq y}$.

Utilizando pseudodistancias en lugar de distancias se pueden trasladar fácilmente a los espacios pseudométricos algunos conceptos definidos originalmente para espacios métricos, como el de acotación de conjuntos y funciones o el de continuidad uniforme.

La suma de una familia finita de pseudodistancias ${\displaystyle d_{i};\;1\leq i\leq n}$ en un conjunto ${\displaystyle X}$ es otra pseudodistancia ${\displaystyle d(x,y)=d_{1}(x,y)+d_{2}(x,y)+\dotsb +d_{n}(x,y)}$.

A partir de una familia numerable de pseudodistancias ${\displaystyle d_{i};\;i\in \mathbb {N} }$ definidas en el mismo conjunto ${\displaystyle X}$ puede definirse una distancia por medio de

${\displaystyle d(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }2^{-i}{\frac {d_{i}(x,y)}{1+d_{i}(x,y)}}}$

Ejemplos

• Todo espacio métrico ${\displaystyle (M,d)}$ es válido como ejemplo de espacios pseudométricos.

• La pseudodistancia nula ${\displaystyle d(x,y)=0}$ definida en cualquier conjunto ${\displaystyle X}$ determina la topología trivial.

• Sea ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ el espacio de funciones ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ definidas en un conjunto ${\displaystyle X}$ con valores reales, en el que se ha elegido un punto ${\displaystyle x_{0}\in X}$. Este punto induce una pseudodistancia en ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ definida por

${\displaystyle d(f,g)=|f(x_{0})-g(x_{0})|}$ para todo ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(X)}$

• En un espacio vectorial ${\displaystyle V}$, una seminorma ${\displaystyle p}$ induce una pseudodistancia definida por

${\displaystyle d(x,y)=p(x-y).}$

• Todo espacio de medida ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ puede verse como un espacio pseudométrico completo definiendo

${\displaystyle d(A,B):=\mu (A\Delta B)}$ para todo ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$.

Topología

La topología pseudométrica es la topología inducida por las bolas abiertas

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(p,x)<r\},}$

que forman una base para la topología.^[2]​

Se dice que un espacio topológico es pseudometrizable si puede dotarse de una pseudodistancia tal que la topología pseudométrica coincide con la dada.

La diferencia entre pseudodistancias y distancias es esencialmente topológica. Una pseudodistancia es una distancia si y solo si la topología que genera es de Kolmogorov (es decir, puntos diferentes son topológicamente distinguibles).

Pseudodistancias y estructuras uniformes

Definición de una estructura uniforme a partir de una pseudodistancia

Sea ${\displaystyle X}$ un conjunto dotado de una pseudodistancia ${\displaystyle d}$. El conjunto ${\displaystyle F}$ de imágenes inversas por d de intervalos de la forma [0,a), es un sistema fundamental de entourages para una estructura uniforme sobre ${\displaystyle X}$

${\displaystyle F:=\{d^{-1}([0,a))\mid a\in \mathbb {R} _{+}\}}$, siendo

${\displaystyle d^{-1}([0,a))=\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<a\}}$

Se dice que dicha estructura está definida o determinada por la pseudodistancia ${\displaystyle d}$.

Igualmente, una familia ${\displaystyle (d_{i})_{i\in I}}$ de pseudodistancias en un conjunto ${\displaystyle X}$, determina una estructura uniforme que es el supremo de las estructuras definidas por cada una de ellas. Es decir, la intersección de todas las estructuras uniformes definidas en dicho conjunto ${\displaystyle X}$ que contengan todas las estructuras individuales.

Definición de una pseudodistancia a partir de una estructura uniforme

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio uniforme en el que se puede identificar un sistema fundamental de entourages ${\displaystyle (N_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ numerable. Se puede demostrar la existencia de otro sistema fundamental de entourages simétricos ${\displaystyle (S_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ cumpliendo ${\displaystyle S_{0}\subseteq N_{0}}$ y ${\displaystyle S_{k+1}^{3}\subseteq S_{k}\cap N_{k}}$, donde ${\displaystyle S^{3}=}$S∘S∘S representa un encadenamiento de entourages.

Para construir una pseudodistancia, partimos de la función ${\displaystyle g\colon X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$, definida por

${\displaystyle g(x,y):={\begin{cases}1\;{\mbox{si}}\;(x,y)\not \in S_{0}\\\inf\{2^{-k-1}|(x,y)\in S_{k}\}\;{\rm {encasocontrario}}\end{cases}}}$

Esta función es simétrica y se anula en la diagonal, pero no cumple necesariamente la desigualdad triangular. Para obtener el resultado deseado se utiliza el siguiente procedimiento.

Sea C el conjunto de todas las secuencias finitas de puntos de ${\displaystyle X}$ que comienzan en ${\displaystyle x}$ y terminan en ${\displaystyle y}$. Entonces podemos definir una pseudodistancia en ${\displaystyle X}$ mediante

${\displaystyle d(x,y):=\inf \left\{\sum _{j=0}^{n-1}g(z_{j},z_{j+1})\mid (z_{j})_{j=0,\dotsc ,n}\in C\right\}}$.

La estructura uniforme determinada por esta pseudodistancia es la estructura uniforme original.

Este resultado puede generalizarse. Dada cualquier estructura uniforme en un conjunto ${\displaystyle X}$, es posible identificar una familia de pseudométricas que, a su vez, determine la estructura uniforme de partida.^[3]​

Identificación métrica

Se denomina identificación métrica a la relación de equivalencia definida por ${\displaystyle x\sim y}$ si ${\displaystyle d(x,y)=0}$.

Sean

${\displaystyle X^{*}=X/{\sim }}$

${\displaystyle d^{*}([x],[y])=d(x,y)}$

Entonces ${\displaystyle d^{*}}$ es una métrica en ${\displaystyle X^{*}}$ y ${\displaystyle (X^{*},d^{*})}$ un espacio métrico bien definido.^[4]​

La identificación métrica preserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto ${\displaystyle A\subset X}$ es abierto (o cerrado) en ${\displaystyle (X,d)}$ si y solo si ${\displaystyle \pi (A)=[A]}$ es abierto (o cerrado) en ${\displaystyle (X^{*},d^{*})}$ y A es saturado, siendo ${\displaystyle \pi \colon X\to X^{*}}$ la proyección canónica que hace corresponder a cada punto de ${\displaystyle X}$ la clase de equivalencia que lo contiene.

Notas

Referencias

• von Querenburg, Boto (2001). Mengentheoretische Topologie (en alemán). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-67790-9. 

• Arkhangel'skii, A.V.; Pontryagin, L.S. (1990). General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (en inglés). Springer. ISBN 3-540-18178-4. 

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, Arthur (1995) [1970]. Counterexamples in Topology (en inglés) (new edition edición). Dover Publications. ISBN 0-486-68735-X. 

• Example of pseudometric space en PlanetMath.