Espacio distinguido

En análisis funcional y en otras áreas relacionadas de las matemáticas, los espacios distinguidos son espacio vectorial topológico (EVT) que tienen la propiedad de que los subconjuntos acotados *débil de sus biduales (es decir, los espacios duales fuertes de sus espacios duales fuertes) están contenidos en la clausura *débil de algún subconjunto acotado del bidual.

Definición

Supóngase que ${\displaystyle X}$ es un espacio localmente convexo, y considérese que ${\displaystyle X^{\prime }}$ y ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ denoten el espacio dual fuerte de ${\displaystyle X}$ (es decir, el espacio dual de ${\displaystyle X}$ dotado con la topología dual fuerte). Sea ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ el espacio dual continuo de ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ y ${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$ el dual fuerte de ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$ Sea ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$, denotándose ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ dotado de la topología *débil inducida por ${\displaystyle X^{\prime },}$ donde esta topología se denota por ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ (es decir, la topología de convergencia puntual en ${\displaystyle X^{\prime }}$). Se dice que un subconjunto ${\displaystyle W}$ de ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ está acotado por ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ si es un subconjunto acotado de ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ y se llama al cierre de ${\displaystyle W}$ en el EVT ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ el cierre ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ de ${\displaystyle W}$. Si ${\displaystyle B}$ es un subconjunto de ${\displaystyle X}$, entonces el polar de ${\displaystyle B}$ es ${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{b\in B}\left\langle b,x^{\prime }\right\rangle \leq 1\right\}.}$

Un espacio localmente convexo de Hausdorff ${\displaystyle X}$ se denomina espacio distinguido si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Si ${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$ es un subconjunto acotado por ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ de ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$, entonces existe un subconjunto acotado ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$ cuyo cierre ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ contiene a ${\displaystyle W}$.^[1]​
2. Si ${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$ es un subconjunto acotado por ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ de ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$, entonces existe un subconjunto acotado ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle W}$ está contenido en ${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\sup _{x^{\prime }\in B^{\circ }}\left\langle x^{\prime },x^{\prime \prime }\right\rangle \leq 1\right\},}$, que es el polar (en relación con la dualidad ${\displaystyle \left\langle X^{\prime },X^{\prime \prime }\right\rangle }$) de ${\displaystyle B^{\circ }.}$^[1]​
3. El dual fuerte de ${\displaystyle X}$ es un espacio barrilado.^[1]​

Si además ${\displaystyle X}$ es un espacio localmente convexo metrizable, esta lista puede ampliarse para incluir:

4. (Grothendieck) El dual fuerte de ${\displaystyle X}$ es un espacio bornológico.^[1]​

Condiciones suficientes

Todos los espacios vectoriales normados y espacios semireflexivos son espacios distinguidos.^[2]​ Los espacios LF son espacios distinguidos.

El espacio dual fuerte ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ de un espacio de Fréchet ${\displaystyle X}$ se distingue si y solo si ${\displaystyle X}$ es cuasi barrilado.^[3]​

Propiedades

Todo espacio distinguido localmente convexo es un espacio H.^[2]​

Ejemplos

Existen espacios de Banach distinguidos que no son semirreflexivos.^[1]​ El espacio dual fuerte de un espacio de Banach distinguido no es necesariamente separable; el ${\displaystyle l^{1}}$ es uno de estos espacios.^[4]​ El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet distinguido no es necesariamente un espacio metrizable.^[1]​ Existe un espacio de Mackey ${\displaystyle X}$ no cuasi barrilado, no reflexivo y semirreflexivo, cuyo dual fuerte es un espacio de Banach no reflexivo.^[1]​ Existen espacios H que no son espacios distinguidos.^[1]​

Los espacios de Montel de Fréchet son espacios distinguidos.

Véase también

• Espacio de Montel
• Espacio semirreflexivo

Referencias

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolas (1950). «Sur certains espaces vectoriels topologiques». Annales de l'Institut Fourier (en francés) 2: 5-16 (1951). MR 0042609. doi:10.5802/aif.16. 
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250. 
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665. 
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342. 
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370. 
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• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.