Dodecadodecaedro romo invertido

Dodecadodecaedro romo invertido
Modelo 3D
Tipo	poliedro uniforme, poliedro no convexo y poliedro romo
Forma de las caras	triángulo equilátero (60) pentagrama (12)
Dual	hexecontaedro pentagonal invertido medial
Elementos
Vértices	60
Aristas	150
Caras	84
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En geometría, el dodecadodecaedro romo invertido' (o dodecadodecaedro vertirromo) es un poliedro uniforme estrellado, indexado como U₆₀.^[1]​ Su símbolo de Schläfli es sr{5/3,5}.

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un dodecadodecaedro romo invertido son todas las permutaciones pares (con un número par de signos más) de:

(±2a, ±2, ±2b),

(±(a+b/t+t), ±(-en+b+1/t), ±(a/t+bt-1)),

(±(-a/t+bt+1), ±(-a+b/t-t), ±(at+b-1/t)),

(±(-α/τ+βτ-1), ±(α-β/τ-τ), ±(α+β+1/τ)) y

(±(a+b/t-t), ±(at-b+1/t), ±(a/t+bt+1)),

con un número par de signos más, donde

β = (α²/τ+τ)/(ατ−1/τ),

siendo τ = (1+√5)/2 el número áureo; y α la raíz real negativa de τA⁴−α³+2α²−α−1/τ, o aproximadamente −0,3352090.

Tomando las permutaciones impares (con un número impar de signos más) de las coordenadas anteriores, se obtiene una forma enantiomorfa de la primera.

Poliedros relacionados

Mediano hexecontaedro pentagonal invertido

Mediano hexecontaedro pentagonal invertido
Imagen del sólido
Tipo	Poliedro estrellado
Caras	60
Aristas	150
Vértices	84
Grupo de simetría	I, [5,3]+, 532
Poliedro dual	Dodecadodecaedro romo invertido
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El mediano hexecontaedro pentagonal invertido (o mediano ditriacontaedro petaloide) es un poliedro no convexo isoedral. Es el dual del dodecadodecaedro romo invertido, un poliedro uniforme estrellado. Sus caras son pentágonos irregulares no convexos, con un ángulo muy agudo.

Proporciones

Sean ${\displaystyle \phi }$ el número áureo y ${\displaystyle \xi \approx -0.236\,993\,843\,45}$ el mayor cero real (menos negativo) del polinomio ${\displaystyle P=8x^{4}-12x^{3}+5x+1}$. Entonces, cada cara tiene tres ángulos iguales de ${\displaystyle \arccos(\xi )\approx 103.709\,182\,219\,53^{\circ }}$, uno de ${\displaystyle \arccos(\phi ^{2}\xi +\phi )\approx 3.990\,130\,423\,41^{\circ }}$ y uno de ${\displaystyle 360^{\circ }-\arccos(\phi ^{-2}\xi -\phi ^{-1})\approx 224.882\,322\,917\,99^{\circ }}$. Cada cara tiene un borde de longitud media, dos cortos y dos largos. Si la longitud media es ${\displaystyle 2}$, entonces los bordes cortos tienen longitud

${\displaystyle 1-{\sqrt {(1-\xi )/(\phi ^{3}-\xi )}}\approx 0.474\,126\,460\,54}$,

y los bordes largos tienen longitud

${\displaystyle 1+{\sqrt {(1-\xi )/(-\phi ^{-3}-\xi )}}\approx 37.551\,879\,448\,54}$.

Su ángulo diedro es igual a ${\displaystyle \arccos(\xi /(\xi +1))\approx 108.095\,719\,352\,34^{\circ }}$. El otro cero real del polinomio ${\displaystyle P}$ juega un papel similar para el mediano hexecontaedro pentagonal.

Véase también

• Anexo:Poliedros uniformes
• Dodecadodecaedro romo

Referencias

Bibliografía

• Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 730208 . pág.124

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Medial inverted pentagonal hexecontahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Inverted snub dodecadodecahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.