Desigualdad de las medias aritmética y geométrica

Demostración visual de la desigualdad de las medias aritmética y geométrica.

En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica, o MA-MG, aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales.

Media aritmética y media geométrica

La media aritmética de un conjunto de números reales x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}} es igual a la suma dividida por el número total de elementos,

x 1 + x 2 + ⋯ + x n n . {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.}

La media geométrica de un conjunto de reales no negativos x 1 , x 2 , … , x n ∈ R + {\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\in \mathbb {R} ^{+}} , es igual a la raíz enésima del producto de todos ellos:

x 1 x 2 ⋯ x n n . {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.}

La desigualdad

Sea x 1 , x 2 , … , x n ∈ R + {\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\in \mathbb {R} ^{+}} entonces

x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n n . {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.}

La igualdad se cumple si y sólo si x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle {x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}} .

Demostración por inducción

Para demostrar la desigualdad MA-MG, se desarrollará por una variante del método de inducción matemática, demostrando que la MA-MG es cierta para 2 elementos, luego generalizándolo para 2n elementos y demostrando que si es cierta para n es cierta para n-1 elementos (variante "adelante-atrás" según Augustin Louis Cauchy).

Sea x 1 , x 2 , … , x n ∈ R + {\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\in \mathbb {R} ^{+}} un conjunto de n elementos.

Procedemos a considerar el primer paso en que n=2:

( x 1 − x 2 ) 2 ≥ 0 {\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}\geq 0}

x 1 2 − 2 x 1 x 2 + x 2 2 ≥ 0 {\displaystyle x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 0}

x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 ≥ 4 x 1 x 2 {\displaystyle x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 4x_{1}x_{2}}

( x 1 + x 2 ) 2 ≥ 4 x 1 x 2 {\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{2}\geq 4x_{1}x_{2}}

( x 1 + x 2 ) 2 4 ≥ x 1 x 2 {\displaystyle {\frac {(x_{1}+x_{2})^{2}}{4}}\geq x_{1}x_{2}}

x 1 + x 2 2 ≥ x 1 x 2 2 {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{x_{1}x_{2}}}}

Quedando así demostrado para n=2, luego se demuestra que si es cierta para n es cierta para 2n elementos.

x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 n 2 n ≥ x 1 x 2 ⋯ x 2 n 2 n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2n}}{2n}}\geq {\sqrt[{2n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2n}}}}

( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) n + ( x n + 1 + x n + 2 + ⋯ + x 2 n ) n 2 ≥ ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) n ( x n + 1 + x n + 2 + ⋯ + x 2 n ) n 2 {\displaystyle {\frac {{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}}+{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}}{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}}}

Siguiendo la hipótesis,

x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}

Se sigue que,

( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) n + ( x n + 1 + x n + 2 + ⋯ + x 2 n ) n 2 ≥ ( x 1 x 2 ⋯ x n ) n ( x n + 1 x n + 2 ⋯ x 2 n ) n 2 {\displaystyle {\frac {{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}}+{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{{\sqrt[{n}]{(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})}}{\sqrt[{n}]{(x_{n+1}x_{n+2}\cdots x_{2n})}}}}}

Siendo esto igual a,

x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 n 2 n ≥ x 1 x 2 ⋯ x 2 n 2 n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2n}}{2n}}\geq {\sqrt[{2n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2n}}}}

Quedando así demostrado que si es cierto para n elementos es cierto para 2n elementos.

Ahora procedemos a demostrar que si es cierta para n elementos es cierta para n-1 elementos,

Sean x 1 , x 2 , … , x n − 1 ∈ R + {\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1}}\in \mathbb {R} ^{+}} y x n = x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 n − 1 {\displaystyle x_{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}

Se considera la desigualdad de todos los elementos mencionados,

x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x 1 + x 2 ⋯ + x n − 1 n − 1 n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x 1 + x 2 ⋯ + x n − 1 n − 1 n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}}

( n − 1 ) x 1 + ( n − 1 ) x 2 + ⋯ + ( n − 1 ) x n − 1 + x 1 + x 2 ⋯ + x n − 1 ( n − 1 ) n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 n x 1 + x 2 ⋯ + x n − 1 n − 1 n {\displaystyle {\frac {(n-1)x_{1}+(n-1)x_{2}+\cdots +(n-1)x_{n-1}+x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{(n-1)n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}

n x 1 + n x 2 + ⋯ + n x n − 1 ( n − 1 ) n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 n x 1 + x 2 ⋯ + x n − 1 n − 1 n {\displaystyle {\frac {nx_{1}+nx_{2}+\cdots +nx_{n-1}}{(n-1)n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}

x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 n − 1 ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 n x 1 + x 2 ⋯ + x n − 1 n − 1 n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}

( x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 n − 1 ) n − 1 n ≥ ( x 1 x 2 ⋯ x n − 1 ) 1 n {\displaystyle ({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})^{\frac {n-1}{n}}\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})^{\frac {1}{n}}}

( x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 n − 1 ) n − 1 1 ≥ ( x 1 x 2 ⋯ x n − 1 ) {\displaystyle ({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})^{\frac {n-1}{1}}\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})}

Haciendo raíz n-1-ésima se sigue,

( x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 n − 1 ) ≥ ( x 1 x 2 ⋯ x n − 1 ) 1 n − 1 {\displaystyle ({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})^{\frac {1}{n-1}}}

Quedando así demostrado por el método inductivo, la veracidad de la desigualdad MA-MG.

x 1 + x 2 ⋯ + x n n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n n , ∀ n ∈ N {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}},\forall n\in \mathbb {N} } Q.E.D.

Véase también

  • Media

Referencias

  • Oleksandr, karlein.Rondero Guerrero, Carlos.Tarasenko, Anna. (2008). Desigualdades, métodos de cálculo no tradicionales". Díaz de Santos. ISBN 978-84-7978-807-0
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