Descomposición en fracciones simples

El método de descomposición en fracciones simples consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.

Características

Para mayor claridad, sea:

${\displaystyle {\frac {A(x)}{B(x)}}={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x+b_{0}}}}$

donde: ${\displaystyle m<n\,}$. Para reducir la expresión a fracciones parciales se debe expresar la función ${\displaystyle B(x)\,}$ de la forma:

${\displaystyle B(x)=(x+a_{n})(x+a_{n-1})...(x+a_{1})(x+a_{0})\,}$

o

${\displaystyle B(x)=(a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n})(a_{n-1}x^{2}+b_{n-1}x+c_{n-1})...(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})(a_{0}x^{2}+b_{0}x+c_{0})\,}$

es decir, como el producto de factores lineales o cuadráticos.

Casos

Se distinguen 4 casos:

Factores lineales distintos

Donde ningún par de factores es idéntico.

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{(x+a_{1})}}+{\frac {A_{2}}{(x+a_{2})}}+...+{\frac {A_{n}}{(x+a_{n})}}}$

Donde ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores lineales repetidos

Donde los pares de factores son idénticos.

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{(x+a_{1})}}+{\frac {A_{2}}{(x+a_{1})^{2}}}+...+{\frac {A_{n}}{(x+a_{1})^{n}}}}$

Donde ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos distintos

Donde ningún par de factores es igual.

${\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2})}}+...+{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n})}}}$

Donde ${\displaystyle A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},...,A_{n},B_{n}\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos repetidos

${\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{2}}}+...+{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{n}}}}$

Donde ${\displaystyle A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},...,A_{n},B_{n}\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Cómputo de las constantes

Para hallar las constantes, en el caso de factores lineales distintos se puede utilizar la siguiente fórmula:

${\displaystyle A_{k}=\left[{\frac {A(x)}{B(x)}}(x+a_{k})\right]_{x=-a_{k}}}$

en donde ${\displaystyle k=(1,2,...,n)\,}$

Para los otros casos no existe una formulación específica. Sin embargo, estos se pueden resolver simplificando y formando un sistema de ecuaciones con cada una de las ${\displaystyle A_{k}\,}$, la resolución del sistema proporciona los valores de los ${\displaystyle A_{k}\,}$.

Ejemplo 1

Sea ${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}}$ Se puede descomponer en ${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{x+2}}}$

Necesitamos encontrar los valores a y b

El primer paso es deshacernos del denominador, lo que nos lleva a:

${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {a(x+2)+b(x+1)}{(x+1)(x+2)}}}$

Simplificando

${\displaystyle x+3=a(x+2)+b(x+1)}$

El siguiente paso es asignar valores a x, para obtener un sistema de ecuaciones, y de este modo calcular los valores a y b.

Sin embargo, podemos hacer algunas simplificaciones asignado

${\displaystyle {\begin{array}{rlr}x&=-2&\;{\mbox{lo que produce}}\\-2+3&=a(-2+2)+b(-2+1)&\;calculando\\1&=-b&\;{\mbox{ es decir}}\\b&=-1\end{array}}}$

Para el caso de a observamos que ${\displaystyle x=-1}$ nos facilita el proceso

${\displaystyle {\begin{array}{rlr}x&=-1&{}\\-1+3&=a(-1+2)+b(-1+1)&{}\\2&=a&{}\\a&=2&{}\end{array}}}$

Siendo el resultado, el siguiente

${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {2}{x+1}}+{\frac {-1}{x+2}}}$

Ejemplo 2

Sea ${\displaystyle {\frac {x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}}}}$

Se puede descomponer de esta manera

${\displaystyle {\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{(x+1)^{2}}}+{\frac {c}{(x+1)^{3}}}}$

multiplicando por ${\displaystyle (x+1)^{3}}$, tenemos ejemplo:

${\displaystyle {\frac {(x^{2}+3x+1)(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}={\frac {a(x+1)^{3}}{x+1}}+{\frac {b(x+1)^{3}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {c(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}}$

Simplificando

${\displaystyle x^{2}+3x+1=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c}$

Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\begin{array}{lrclr}{\text{Sea}}&x&=&0&{\mbox{resulta en}}\\{}&1&=&a+b+c&{}\\{\text{Sea}}&x&=&1&{}\\{}&5&=&4a+2b+c&{}\\{\text{Sea}}&x&=&-1&{}\\{}&-1&=&0+0+c&{}\end{array}}}$

Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos finalmente

${\displaystyle {\frac {x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}}}={\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}+{\frac {-1}{(x+1)^{3}}}}$

Ejemplo 3

Tenemos ${\displaystyle {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}}$ que se puede convertir en ${\displaystyle {\frac {a}{x}}+{\frac {bx+c}{x^{2}+1}}}$

Multiplicamos por ${\displaystyle x(x^{2}+1)}$

Tenemos

${\displaystyle {\frac {x(x^{2}+1)}{x(x^{2}+1)}}={\frac {ax(x^{2}+1)}{x}}+{\frac {(bx+c)x(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}}$

Simplificando

${\displaystyle 1=a(x^{2}+1)+(bx+c)x}$

Ahora podemos asignar valores a x

${\displaystyle {\begin{array}{lrcl}{\text{Si}}&x&=&0\\{}&1&=&a\\{\text{Si}}&x&=&1\\{}&1&=&2a+(b+c)\cdot 1\\{}&1&=&2\cdot 1+b+c\\{}&-1&=&b+c\\{\text{Si}}&x&=&-1\\{}&1&=&2a+(-b+c)\cdot -1\\{}&-1&=&b-c\end{array}}}$

Resolviendo el sistema, resulta ${\displaystyle a=1\;b=-1\;c=0}$

Y el problema se resuelve de esta manera

${\displaystyle {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {1}{x}}+{\frac {-x}{x^{2}+1}}}$

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Descomposición de fracción parcial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.