Constante de Khinchin

En teoría de números, la constante de Khinchin, debida a Aleksandr Yakovlevich Khinchin es una constante demostrada para casi todos los números reales x. Tomando los coeficientes ai de la expansión de la fracción continua del valor x, este tiene una media geométrica finita que es independiente del valor de x.

Es decir, para

x = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + 1 ⋱ {\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;}

es casi siempre cierto que

lim n → ∞ ( a 1 a 2 . . . a n ) 1 / n = K 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}}

donde K 0 {\displaystyle K_{0}} es la constante de Khinchin

K 0 = ∏ r = 1 ∞ ( 1 + 1 r ( r + 2 ) ) log 2 ⁡ r ≈ 2.6854520010 … {\displaystyle K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}\approx 2.6854520010\dots } (sucesión A002210 en OEIS)

(con ∏ {\displaystyle \prod } denotando el producto sobre toda la sucesión de términos).

Véase también

Referencias

  • David H. Bailey; Jonathan M. Borwein; Richard E. Crandall (1995). «On the Khinchine constant». Mathematics of Computation 66 (217): 417-432. doi:10.1090/s0025-5718-97-00800-4. 
  • Jonathan M. Borwein; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). «Computational Strategies for the Riemann Zeta Function». J. Comput. Appl. Math. 121 (1–2): 11. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. doi:10.1016/s0377-0427(00)00336-8. Archivado desde el original el 25 de septiembre de 2006. Consultado el 16 de junio de 2023. 
  • Thomas Wieting (2007). «A Khinchin Sequence». Proceedings of the American Mathematical Society 136 (3): 815-824. doi:10.1090/S0002-9939-07-09202-7. 
  • Aleksandr Ya. Khinchin (1997). Continued Fractions. New York: Dover Publications. 

Enlaces externos

  • Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Constante de Khinchin.
  • 110,000 digits of Khinchin's constant
  • 10,000 digits of Khinchin's constant