Combinatoria aritmética

En matemáticas, la combinatoria aritmética es un campo situado en la intersección entre la teoría de números, la combinatoria, la teoría ergódica y el análisis armónico.

Alcance

Su materia de estudio se centra en las estimaciones combinatorias asociadas con operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división). La combinatoria aditiva es el caso especial cuando solo están involucradas las operaciones de suma y resta.

Ben Green explica la combinatoria aritmética en su reseña de "Combinatoria aditiva" de Tao y Vu.^[1]​

Resultados importantes

Teorema de Szemerédi

El teorema de Szemerédi es un resultado en combinatoria aritmética relacionado con las progresiones aritméticas en subconjuntos de los números enteros. En 1936, Erdős y Turán conjeturaron^[2]​ que cada conjunto de números enteros A con densidad natural positiva contiene una progresión aritmética de k términos para cada k. Esta conjetura, que se convirtió en el teorema de Szemerédi, generaliza el enunciado del teorema de van der Waerden.

Teorema de Green-Tao y extensiones

El teorema de Green-Tao, demostrado por Ben Green y Terence Tao en 2004,^[3]​ establece que la secuencia de los números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas. En otras palabras, existen progresiones aritméticas de números primos, con k términos, donde k puede ser cualquier número natural. La demostración es una extensión del teorema de Szemerédi.

En 2006, Terence Tao y Tamar Ziegler ampliaron el resultado para cubrir las progresiones polinómicas.^[4]​ Más precisamente, dado cualquier polinomio de valores enteros P₁,..., P_k con una m desconocida, todos con término constante 0, hay infinitos números enteros x, m tales que x + P₁(m), ..., x + P_k (m) son simultáneamente primos. El caso especial, cuando los polinomios son m, 2m, ..., km, implica el resultado anterior de que existen progresiones aritméticas de números primos de longitud arbitraria k.

Teorema de Breuillard-Green-Tao

El teorema de Breuillard-Green-Tao, demostrado por Emmanuel Breuillard, Ben Green y Terence Tao en 2011,^[5]​ ofrece una clasificación completa de los grupos aproximados. Este resultado puede verse como una versión no abeliana del teorema de Freiman y una generalización del teorema sobre grupos de crecimiento polinómico de Gromov.

Ejemplo

Si A es un conjunto de N números enteros, ¿qué tan grandes o pequeños pueden ser el conjunto suma

${\displaystyle A+A:=\{x+y:x,y\in A\},}$

el conjunto de diferencias

${\displaystyle A-A:=\{x-y:x,y\in A\},}$

y el conjunto de productos

${\displaystyle A\cdot A:=\{xy:x,y\in A\}}$

, y cómo se relacionan los tamaños de estos conjuntos? (no deben confundirse con los términos conjunto diferencia y producto cartesiano, que pueden tener otros significados).

Extensiones

Los conjuntos que se estudian también pueden ser subconjuntos de estructuras algebraicas distintas de los números enteros, como por ejemplo grupos, anillos y cuerpos.^[6]​

Véase también

• Teoría de números aditiva
• Grupo aproximado
• Teorema de las esquinas
• Teoría ergódica de Ramsey
• Problemas que involucran progresiones aritméticas
• Densidad de Schnirelmann
• Lema de Shapley–Folkman
• Conjunto de Sidón
• Conjunto suma-libre
• Problema suma-producto

Referencias

Bibliografía

• Łaba, Izabella (2008). «From harmonic analysis to arithmetic combinatorics». Bull. Amer. Math. Soc. 45 (1): 77-115. doi:10.1090/S0273-0979-07-01189-5. 
• Combinatoria Aditiva e Informática Teórica Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine., Luca Trevisan, SIGACT News, junio de 2009
• Bibak, Khodakhast (2013). «Additive combinatorics with a view towards computer science and cryptography». En Borwein, Jonathan M.; Shparlinski, Igor E.; Zudilin, Wadim, eds. Number Theory and Related Fields: In Memory of Alf van der Poorten 43. New York: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. pp. 99-128. ISBN 978-1-4614-6642-0. S2CID 14979158. arXiv:1108.3790. doi:10.1007/978-1-4614-6642-0_4. 
• Problemas abiertos en combinatoria aditiva, E Croot, V Lev
• From Rotating Needles to Stability of Waves: Emerging Connections between Combinatorics, Analysis, and PDE, Terence Tao, AMS Notices March 2001
• Tao, Terence; Vu, Van H. (2006). Additive combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 105. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-85386-9. MR 2289012. Zbl 1127.11002. 
• Granville, Andrew; Nathanson, Melvyn B.; Solymosi, József, eds. (2007). Additive Combinatorics. CRM Proceedings & Lecture Notes 43. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4351-2. Zbl 1124.11003. 
• Mann, Henry (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (Corrected reprint of 1965 Wiley edición). Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1. 
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: the Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics 164. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X. MR 1395371. 
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics 165. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. MR 1477155. 

Enlaces externos

• Algunos aspectos destacados de la combinación aritmética, recursos de Terence Tao
• Combinatoria Aditiva: Invierno 2007, K Soundararajan
• Conexiones más tempranas de combinatoria aditiva e informática, Luca Trevisan