Cúbica alabeada

En matemáticas, una cúbica alabeada es una curva suave y racional C de grado tres en el espacio proyectivo tridimensional P³.^[1]​ Es un ejemplo fundamental de una curva oblicua. Es esencialmente única respecto a la transformación proyectiva (por lo tanto, es la cúbica alabeada). Generalmente se considera el ejemplo más simple de una variedad proyectiva que no es lineal o hipersuperficial, y se da como tal en la mayoría de los libros de texto sobre geometría algebraica. Es el caso tridimensional de la curva normal racional, y es la imagen de una aplicación de Veronese de grado tres sobre la recta proyectiva.

Definición

La cúbica alabeada se da más fácilmente de forma paramétrica como la imagen de la aplicación

${\displaystyle \nu :\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{3}}$

en la que se asigna a la coordenada homogénea ${\displaystyle [S:T]}$ el valor

${\displaystyle \nu :[S:T]\mapsto [S^{3}:S^{2}T:ST^{2}:T^{3}].}$

En un entorno coordenado del espacio proyectivo, la aplicación es simplemente la curva de momento

${\displaystyle \nu :x\mapsto (x,x^{2},x^{3})}$

Es decir, es el cierre por un solo punto en el infinito de la curva afín ${\displaystyle (x,x^{2},x^{3})}$.

De manera equivalente, es una variedad proyectiva, definida como el lugar geométrico cero de tres cuádricas lisas. Dadas las coordenadas homogéneas ${\displaystyle [X:Y:Z:W]}$ en P³, es el lugar geométrico cero de los tres polinomios homogéneos

${\displaystyle F_{0}=XZ-Y^{2}}$

${\displaystyle F_{1}=YW-Z^{2}}$

${\displaystyle F_{2}=XW-YZ.}$

Se puede verificar que estas tres formas cuadráticas desvanecen de manera idéntica cuando se usa la parametrización explícita anterior; es decir, sustituyendo x³ por X, y así sucesivamente.

De hecho, el ideal homogéneo de la cúbica alabeada C es generado por tres formas algebraicas de grado dos en P³. Los generadores del ideal son

${\displaystyle \{XZ-Y^{2},YW-Z^{2},XW-YZ\}.}$

Propiedades

La cúbica alabeada tiene numerosas propiedades elementales:

• Es la intersección completa teórica de los conjuntos ${\displaystyle XZ-Y^{2}}$ y ${\displaystyle Z(YW-Z^{2})-W(XW-YZ)}$, pero no una intersección completa de esquema teórico o ideal teórico (el ideal resultante no es radical, ya que ${\displaystyle (YW-Z^{2})^{2}}$ le pertenece, pero no así ${\displaystyle YW-Z^{2}}$).
• Cualesquiera cuatro puntos en C abarcan P³.
• Dados seis puntos en P³ sin cuatro coplanares, existe una cúbica alabeada única que los atraviesa.
• La unión de las rectas tangente y secante (la variedad secante) de una cúbica alabeada C llena P³ y las rectas están separadas por pares, excepto en los puntos de la curva misma. De hecho, la unión de las líneas tangente y secante de cualquier curva algebraica lisa no plana es tridimensional. Además, cualquier variedad algebraica suave con la propiedad de que cada longitud de cuatro subesquemas abarca P³ tiene la propiedad de que las rectas tangente y secante son disjuntas por pares, excepto en los puntos de la variedad misma.
• La proyección de C en un plano desde un punto en una recta tangente de C produce una cúbica cuspidal.
• La proyección desde un punto en una recta secante de C produce una cúbica nodal.
• La proyección desde un punto sobre C produce una sección cónica.

Referencias

Bibliografía

• Harris, Joe (1992), Algebraic Geometry, A First Course, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97716-3 .