Anillo de los números enteros

En matemáticas, la frase anillo de los números enteros se puede referir a

• el anillo de todos los enteros (positivos, negativos o cero), usualmente indicado como Z.
• dado un campo numérico algebraico K, los enteros algebraicos contenidos en K forman un anillo, el anillo de los enteros de K, comúnmente indicado como O_K u ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$.

Usando esta notación, se puede escribir Z = O_Q dado que Z es el anillo de enteros del campo Q de números racionales. Y en efecto por esta razón, en la teoría algebraica de números los elementos de Z son comúnmente llamados los "enteros racionales".

Propiedades

El anillo de los números enteros O_K tiene una base integral; lo que significa que existe b₁,...,b_n ∈ O_K (la base integral) tal que cada elemento x en O_K puede ser unívocamente representado como

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}$

con a_i ∈ Z.

Si ζ es la p-iésima raíz de la unidad y K=Q(ζ) es el campo ciclotómico correspondiente, entonces una base integral de O_K está dada por (1,ζ,ζ²,...,ζ^p-2).

Si d es un entero cuadrático libre y K=Q(d^1/2) es el campo cuadrático correspondiente, entonces una base integral de O_K está dada por (1,(1+d^1/2)/2) si d≡1 (mod 4) y por (1,d^1/2) si d≡2 o 3 (mod 4).

Véase también

• Entero cuadrático

Bibliografía

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859.