Wittvektor

Wittvektoren sind eine von dem Mathematiker Ernst Witt eingeführte^[1] Verallgemeinerung der Konstruktion der (ganzen) p-adischen Zahlen auf beliebige perfekte Restklassenkörper. Neben diesen ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren gibt es die großen Wittvektoren, aus denen sich die ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren für beliebiges ${\displaystyle p}$ rekonstruieren lassen.

Sei ${\displaystyle p}$ eine feste Primzahl. Für einen Ring ${\displaystyle A}$ (kommutativ, mit Einselement) bilden die Wittvektoren einen von ${\displaystyle p}$ abhängenden Ring ${\displaystyle W_{p}(A)}$. Er ist vor allem für Ringe ${\displaystyle A}$ der Charakteristik ${\displaystyle p}$ interessant, die Konstruktion macht es aber erforderlich, auch andere Ringe zuzulassen.

Sei ${\displaystyle n>1}$ eine ganze Zahl. Als Approximation an eine alternative Konstruktion der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ soll zunächst nur unter Verwendung der Addition und Multiplikation im Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ein zum Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ isomorpher Ring, bezeichnet mit ${\displaystyle W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})}$, konstruiert werden.

Der erste, naive Ansatz dazu wäre die Verwendung der Abbildung ${\displaystyle \sigma :\mathbb {F} _{p}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$, die für ganze Zahlen ${\displaystyle 0\leq k<p}$ die Restklasse von ${\displaystyle k}$ in ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ auf die Restklasse von ${\displaystyle k}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ abbildet. Die Bijektion

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{n}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,\ \ (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto \sigma (x_{0})+p\sigma (x_{1})+\dots +p^{n-1}\sigma (x_{n-1})}$

entspricht der Darstellung von ganzen Zahlen in ${\displaystyle \{0,1,\dots ,p^{n}-1\}}$ im Stellenwertsystem zur Basis ${\displaystyle p}$. Die von ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ übertragene Addition ist dann im Fall ${\displaystyle n=2}$:

${\displaystyle (x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+c(x_{0},y_{0})),}$

wobei ${\displaystyle c(x_{0},y_{0})}$ der Übertrag ist. Diese Konstruktion lässt sich nicht gut auf andere Körper als ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ verallgemeinern, auch weil die Definition von ${\displaystyle \sigma }$ von dem aus algebraischer Sicht ungünstigen Vertretersystem ${\displaystyle \{0,1,\dots ,p-1\}\subset \mathbb {Z} }$ Gebrauch macht.

Der korrekte Ansatz basiert auf der folgenden Aussage aus der elementaren Zahlentheorie: Für ganze Zahlen ${\displaystyle u,v}$ gilt:

${\displaystyle u\equiv v\mod p\implies u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}\mod p^{n}}$

(siehe Kongruenz (Zahlentheorie)). Das bedeutet: Ist ${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle u\in \mathbb {Z} }$ ein Vertreter von ${\displaystyle x}$, dann hängt die Restklasse von ${\displaystyle u^{p^{n-1}}}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ nur von ${\displaystyle x}$, nicht jedoch von der Wahl von ${\displaystyle u}$ ab. Wir schreiben suggestiv ${\displaystyle x^{p^{n-1}}}$ für dieses Element von ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$. (Diese Abbildung ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ist im Wesentlichen das Teichmüller-Vertretersystem für die ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.) Allgemeiner hängt auch die Restklasse von ${\displaystyle p^{k}u^{p^{n-1-k}}}$ nicht von ${\displaystyle u}$ selbst ab, wir scheiben ${\displaystyle p^{k}x^{p^{n-1-k}}}$.

Weil jeweils ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\to p^{k}\mathbb {Z} /p^{k+1}\mathbb {Z} }$, ${\displaystyle x\mapsto p^{k}x^{p^{n-1-k}}}$ bijektiv ist, erhalten wir durch Aufaddieren eine bijektive Abbildung:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{n-1}{:}\ &\mathbb {F} _{p}^{n}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,\\&(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto x_{0}^{p^{n-1}}+px_{1}^{p^{n-2}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-1-k}}+\dots +p^{n-1}x_{n-1}\end{aligned}}}$

Sei ${\displaystyle W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})}$ die Menge ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{n}}$ zusammen mit derjenigen Addition und Multiplikation, die ${\displaystyle w_{n-1}}$ zu einem Isomorphismus machen.

Sei nun speziell ${\displaystyle n=2}$ und damit ${\displaystyle w_{1}(x_{0},x_{1})=x_{0}^{p}+px_{1}}$. Sollen zwei Vektoren ${\displaystyle (x_{0},x_{1})}$ und ${\displaystyle (y_{0},y_{1})}$ addiert werden, also ${\displaystyle (x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(z_{0},z_{1})}$, dann erhält man modulo ${\displaystyle p}$ die Gleichung ${\displaystyle z_{0}^{p}=x_{0}^{p}+y_{0}^{p}}$, also ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+y_{0}}$. Damit ist

${\displaystyle pz_{1}=px_{1}+py_{1}+x_{0}^{p}+y_{0}^{p}-(x_{0}+y_{0})^{p}}$

Das Polynom

${\displaystyle X^{p}+Y^{p}-(X+Y)^{p}\in \mathbb {Z} [X,Y]}$

hat durch ${\displaystyle p}$ teilbare Koeffizienten, ist also gleich ${\displaystyle p\cdot S_{1}'(X,Y)}$ mit einem Polynom ${\displaystyle S_{1}'(X,Y)\in \mathbb {Z} [X,Y]}$. Damit ist

${\displaystyle pz_{1}=p(x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))}$

also insgesamt

${\displaystyle (x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))}$

Die Assoziativität der Addition übersetzt sich in eine Gleichung

${\displaystyle S_{1}'(x_{0},y_{0})+S_{1}'(x_{0}+y_{0},z_{0})=S_{1}'(x_{0},y_{0}+z_{0})+S_{1}'(y_{0},z_{0})}$

Man überzeugt sich leicht davon, dass diese Gleichung bereits entsprechend in ${\displaystyle \mathbb {Z} [X,Y,Z]}$ gilt. Das bedeutet, dass man für einen beliebigen kommutativen Ring ${\displaystyle A}$ durch die Festlegung

${\displaystyle (x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))}$

die Struktur einer abelschen Gruppe auf ${\displaystyle W_{p,2}(A)=A^{2}}$ definieren kann. Entsprechendes gilt für

${\displaystyle (x_{0},x_{1})\cdot (y_{0},y_{1})=(x_{0}y_{0},P_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}))}$

mit ${\displaystyle P_{1}(X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1})=X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1}}$, so dass ${\displaystyle W_{p,2}(A)}$ zu einem kommutativen Ring mit Einselement ${\displaystyle (1,0)}$ wird.

Bezeichne ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Weiterhin ist ${\displaystyle p}$ eine fest gewählte Primzahl.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome ${\displaystyle S_{i},P_{i}\in \mathbb {Z} [X_{0},\dots ,X_{i},Y_{0},\dots ,Y_{i}]}$ für jedes ${\displaystyle i\in \mathbb {N} _{0}}$ derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement ${\displaystyle A}$ gilt: ${\displaystyle W_{p}(A)=A^{\mathbb {N} _{0}}}$ ist ein Ring mit Addition:

${\displaystyle x+y=(S_{0}(x_{0},y_{0}),S_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}),S_{2}(x_{0},x_{1},x_{2},y_{0},y_{1},y_{2}),\dots )}$

und Multiplikation

${\displaystyle x\cdot y=(P_{0}(x_{0},y_{0}),P_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}),\dots )}$

und für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ist die Abbildung

${\displaystyle W_{p}(A)\to A,\ \ x\mapsto x_{0}^{p^{n}}+px_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-k}}+\dots +p^{n}x_{n}}$

ein Ringhomomorphismus. ${\displaystyle W_{p}(A)}$ heißt Ring der ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren mit Einträgen aus ${\displaystyle A}$. Ist nur die Rede von ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren, wird nur ${\displaystyle W(A)}$ geschrieben.

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{1}}$ ist ${\displaystyle W_{p,n}(A)=A^{n}}$ mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement, der Ring der ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren der Länge ${\displaystyle n}$.^[2]

Das Ringelement

${\displaystyle x^{(n)}=x_{0}^{p^{n}}+px_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-k}}+\dots +p^{n}x_{n}\in A}$

wird als ${\displaystyle n}$-te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von ${\displaystyle x\in W_{p}(A)}$ bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

${\displaystyle w_{p,n}(X)=X_{0}^{p^{n}}+pX_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{n}X_{n}}$

kann man ${\displaystyle S_{n}}$ und ${\displaystyle P_{n}}$ rekursiv berechnen:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(X,Y)&={\frac {1}{p^{n}}}\left(w_{p,n}(X)+w_{p,n}(Y)-\sum _{k=0}^{n-1}p^{k}S_{k}^{p^{n-k}}(X,Y)\right)\\P_{n}(X,Y)&={\frac {1}{p^{n}}}\left(w_{p,n}(X)\cdot w_{p,n}(Y)-\sum _{k=0}^{n-1}p^{k}P_{k}^{p^{n-k}}(X,Y)\right)\end{aligned}}}$

Beispiele:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}(X,Y)&=X_{0}+Y_{0}\\S_{1}(X,Y)&=X_{1}+Y_{1}-\sum _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{p}}{\binom {p}{k}}X_{0}^{k}Y_{0}^{p-k}\\P_{0}(X,Y)&=X_{0}Y_{0}\\P_{1}(X,Y)&=X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1}\end{aligned}}}$

Auch die Negation ${\displaystyle x\mapsto -x}$ im Ring ${\displaystyle W_{p}(A)}$ ist durch universelle Polynome gegeben. Für ${\displaystyle p\neq 2}$ ist:

${\displaystyle -(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(-x_{0},-x_{1},-x_{2},\dots )}$

Für ${\displaystyle p=2}$ ist dagegen ${\displaystyle -(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(I_{0}(X),I_{1}(X),I_{2}(X),\dots )}$ mit

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}(X)&=-X_{0}\\I_{1}(X)&=-X_{0}^{2}-X_{1}\\I_{2}(X)&=-X_{0}^{4}-X_{0}^{2}X_{1}-X_{1}^{2}-X_{2}\end{aligned}}}$

Die Abbildung ${\displaystyle \tau \colon A\to W_{p}(A),\ a\mapsto (a,0,0,\dots )}$ ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem (nach Oswald Teichmüller).

Die rekursive Beschreibung liefert ${\displaystyle S_{n},P_{n}\in \mathbb {Q} [X,Y]}$. Um einerseits die Ganzzahligkeit, andererseits die Ringeigenschaften nachzuweisen, zeigt der klassische Beweisansatz allgemeiner:^[3]

Lemma. Ist ${\displaystyle \phi \in \mathbb {Z} [X,Y]}$ ein Polynom (z. B. ${\displaystyle \phi (X,Y)=X+Y}$), dann gibt es eindeutig bestimmte ganzzahlige Polynome ${\displaystyle \phi _{n}\in \mathbb {Z} [X_{0},\dots ,X_{n},Y_{0},\dots ,Y_{n}]}$ mit

${\displaystyle w_{p,n}(\phi _{0},\dots ,\phi _{n})=\phi (w_{p,n}(X_{0},\dots ,X_{n}),w_{p,n}(Y_{0},\dots ,Y_{n}))}$

für alle ${\displaystyle n}$. Entsprechende Versionen dieser Aussage gelten auch für ${\displaystyle X,Y,Z}$ statt ${\displaystyle X,Y}$ oder auch nur ${\displaystyle X}$.

Rationale Eindeutigkeit ist klar, der Ganzzahligkeitsbeweis beruht auf den Eigenschaften ${\displaystyle w_{p,n}(X)\equiv w_{p,n-1}(X^{p})\mod p}$ und ${\displaystyle f(X^{p})\equiv f(X)^{p}\mod p}$ sowie der oben erwähnten Implikation

${\displaystyle u\equiv v\mod p\implies u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}\mod p^{n}}$

Die Ringeigenschaften von ${\displaystyle W_{p}(A)}$ folgen aus der Eindeutigkeitsaussage des Lemmas: Sowohl ${\displaystyle x+(y+z)}$ als auch ${\displaystyle (x+y)+z}$ sind durch Polynome gegeben, die Lösungen der folgenden Gleichung sind:

${\displaystyle w_{p,n}(\phi _{0},\dots ,\phi _{n})=w_{p,n}(X_{0},\dots ,X_{n})+w_{p,n}(Y_{0},\dots ,Y_{n})+w_{p,n}(Z_{0},\dots ,Z_{n})}$

Also sind diese Polynome gleich.

Ein anderer Beweisansatz verwendet die Identifikation des Rings der großen Wittvektoren mit dem Ring ${\displaystyle \Lambda (A)}$, siehe unten.

• ${\displaystyle W_{p,1}(A)}$ kann mit ${\displaystyle A}$ identifiziert werden, und ${\displaystyle w_{p,0}:W_{p}(A)\to A}$ mit der Projektion ${\displaystyle x\mapsto x_{0}}$. Alle Projektionen ${\displaystyle W_{p}(A)\to W_{p,n}(A)}$ sind surjektive Ringhomomorphismen, und

${\displaystyle W_{p}(A)=\varprojlim _{n}W_{p,n}(A)}$

(siehe Projektiver Limes)

• ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} _{p}}$ und ${\displaystyle W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$
• Wenn ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle A}$ invertierbar ist, dann ist die Abbildung auf die Geisterkomponenten ${\displaystyle w_{p}:W_{p}(A)\to A^{\mathbb {N} _{0}}}$ ein Ringisomorphismus.
• Weitere Beispiele (unter beiden Isomorphismen entspricht ${\displaystyle X}$ dem Vektor ${\displaystyle (0,1)}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}&W_{p,2}(\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}-pX)\\&W_{p,2}(\mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /p^{3}\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-pX,pX-p^{2})\end{aligned}}}$

Sei ${\displaystyle k}$ ein perfekter Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$. Dann ist ${\displaystyle W_{p}(k)}$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring gemischter Charakteristik (d. h. ${\displaystyle {\text{char}}(W_{p}(k))=0}$), dessen maximales Ideal von ${\displaystyle p}$ erzeugt wird. Diese Eigenschaft charakterisiert ${\displaystyle W_{p}(k)}$ bis auf Isomorphie.

Wittvektoren spielen eine wichtige Rolle in der Strukturtheorie vollständiger lokaler Ringe (nach I. S. Cohen):

• Satz von Teichmüller-Witt: Ist ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit Restklassenkörper ${\displaystyle k}$, dann gibt es genau einen Homomorphismus ${\displaystyle W_{p}(k)\to A}$, so dass die Verkettung mit der Projektion ${\displaystyle A\to k}$ gleich der Projektion ${\displaystyle W_{p}(k)\to k}$ ist. Es gibt genau einen multiplikativen Schnitt ${\displaystyle \tau _{A}\colon k\to A}$ der Projektion ${\displaystyle A\to k}$, genannt Teichmüller-Vertretersystem, und die Abbildung ${\displaystyle W_{p}(k)\to A}$ ist:^[4]

${\displaystyle x\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }p^{n}\cdot \tau _{A}(x_{n}^{1/p^{n}})}$

• ${\displaystyle A}$ ist als ${\displaystyle W_{p}(k)}$-Algebra isomorph zu einem Quotienten von ${\displaystyle W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{m}]]}$ mit ${\displaystyle m=\dim _{k}({\mathfrak {m}}/({\mathfrak {m}}^{2}+pA))}$.
• Ist ${\displaystyle p}$ kein Nullteiler in ${\displaystyle A}$, dann gibt es Elemente ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{d-1}}$ mit ${\displaystyle d=\dim(A)}$, so dass der induzierte Homomorphismus ${\displaystyle W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{d-1}]]\to A}$ injektiv ist und ${\displaystyle A}$ als ${\displaystyle W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{d-1}]]}$-Modul endlich erzeugt ist.
• Im Spezialfall ${\displaystyle d=1}$ bedeutet das genauer: Ist ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Restklassenkörper ${\displaystyle k}$, dann ist ${\displaystyle A}$ eine endliche Erweiterung von ${\displaystyle W_{p}(k)}$ vom Grad ${\displaystyle e}$, wenn ${\displaystyle e}$ die normalisierte Bewertung von ${\displaystyle p}$ ist, also ${\displaystyle pA={\mathfrak {m}}^{e}}$ gilt.

Für nicht perfekte Körper übernehmen Cohen-Ringe die Rolle von ${\displaystyle W_{p}(k)}$.

Sei ${\displaystyle A}$ ein Ring der Charakteristik ${\displaystyle p}$. Die Verschiebung ist die Abbildung

${\displaystyle {\begin{aligned}V{:}\ &W_{p}(A)\to W_{p}(A),\\&(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\end{aligned}}}$

Sie ist ein Homomorphismus der additiven Gruppen. Durch Abschneiden erhält man induzierte Homomorphismen

${\displaystyle {\begin{aligned}&W_{p,n}(A)\to W_{p,n+1}(A),\\&(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto (0,x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\end{aligned}}}$

Der Frobeniushomomorphismus (in Anlehnung an den Frobeniushomomorphismus von Körpern der Charakteristik ${\displaystyle p}$) ist die Abbildung

${\displaystyle {\begin{aligned}F{:}\ &W_{p}(A)\to W_{p}(A),\\&(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (x_{0}^{p},x_{1}^{p},x_{2}^{p},\dots )\end{aligned}}}$

Sie ist ein Ringhomomorphismus, der sich zu Ringhomomorphismen ${\displaystyle W_{p,n}(A)\to W_{p,n}(A)}$ einschränkt. Sei ${\displaystyle [p]}$ die Multiplikation mit ${\displaystyle p}$ auf ${\displaystyle W_{p}(A)}$. Dann ist

${\displaystyle F\circ V=V\circ F=[p]}$

somit

${\displaystyle [p](x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(0,x_{0}^{p},x_{1}^{p},\dots )}$

insbesondere

${\displaystyle p\cdot 1_{W_{p}(A)}=(0,1,0,0,0,\dots )}$

Außerdem ist

${\displaystyle V(a\cdot F(b))=V(a)\cdot b}$

Frobenius und Verschiebung sind Spezialfälle einer allgemeineren Konstruktion, siehe Frobeniushomomorphismus#Verschiebung.

Sei ${\displaystyle K}$ der Quotientenkörper von ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {F} _{q})}$. Dann ist ${\displaystyle F}$ der (arithmetische) Frobeniusautomorphismus für die Körpererweiterung ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$.

Sei ${\displaystyle k}$ ein perfekter Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$. Schreibt man ${\displaystyle W=W_{p}(k)}$ und ${\displaystyle W^{\sigma }}$ für den ${\displaystyle W}$-Modul ${\displaystyle W}$, bei dem die Modulstruktur durch ${\displaystyle F}$ gegeben ist, dann erhält man Modulhomomorphismen

${\displaystyle F\colon W\to W^{\sigma },\ \ V\colon W^{\sigma }\to W}$

in Analogie zu Frobenius und Verschiebung für algebraische Gruppen in Charakteristik ${\displaystyle p}$. Ist allgemeiner ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle W}$-Modul zusammen mit zwei Modulhomomorphismen ${\displaystyle F\colon M\to M^{\sigma }}$ und ${\displaystyle V\colon M^{\sigma }\to M}$, kann man diese Struktur zusammenfassen als Modul für den Dieudonné-Ring ${\displaystyle D_{k}}$ (nach Jean Dieudonné), den nichtkommutativen Ring, der von ${\displaystyle W_{p}(k)}$ und zwei Symbolen ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {V} }$ erzeugt wird, mit den Relationen

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {V} \cdot \mathbf {F} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {V} =p\\&\mathbf {V} \cdot F(a)=a\cdot \mathbf {V} \\&\mathbf {F} \cdot a=F(a)\cdot \mathbf {F} \end{aligned}}}$

Die klassische Dieudonné-Theorie ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen und bestimmten ${\displaystyle D_{k}}$-Moduln. Siehe auch unten.

Für beliebige Ringe ${\displaystyle A}$ muss die Definition des Frobeniushomomorphismus modifiziert werden: er ist durch die Gleichung ${\displaystyle w_{p,n+1}=w_{p,n}\circ F}$ charakterisiert. Insbesondere ist die 0-te Komponente ${\displaystyle F_{0}(x)=x_{0}^{p}+px_{1}}$. Der Frobeniushomomorphismus ist auch im allgemeinen Fall ein Ringhomomorphismus. Es gilt^[5]

${\displaystyle Fx\equiv x^{p}\mod pW(A)}$

Durch Abschneiden erhält man Ringhomomorphismen

${\displaystyle W_{p,n}(A)\to W_{p,n-1}(A)}$

(also nicht mehr mit Ziel ${\displaystyle W_{p,n}(A)}$ wie im Fall der Charakteristik ${\displaystyle p}$). Allgemein gilt immer noch

${\displaystyle FV=[p]}$

und

${\displaystyle V(a\cdot F(b))=V(a)\cdot b}$

Sei ${\displaystyle A}$ ein ${\displaystyle p}$-torsionsfreier Ring. Ein Frobeniuslift ist ein Ringhomomorphismus ${\displaystyle \sigma \colon A\to A}$ mit ${\displaystyle \sigma (a)\equiv a^{p}\mod pA}$. Für einen Frobeniuslift existiert nach Dieudonné-Cartier eine eindeutig bestimmte Fortsetzung ${\displaystyle s\colon A\to W_{p}(A)}$, für die ${\displaystyle w_{p,n}\circ s=\sigma ^{n}}$ für alle ${\displaystyle n}$ gilt. Sie erfüllt ${\displaystyle F\circ s=s\circ \sigma }$. Da ${\displaystyle W_{p}(A)}$ selbst über den Frobeniuslift ${\displaystyle F}$ verfügt, erhält man zunächst für ${\displaystyle p}$-torsionsfreie Ringe und durch universelle Formeln für beliebige Ringe eine natürliche Transformation ${\displaystyle \mu \colon W_{p}\to W_{p}\circ W_{p}}$, die durch ${\displaystyle w_{p,n}\circ \mu =F^{n}}$ charakterisiert ist. Sie wird auch Artin-Hasse-Exponentialfunktion genannt, siehe auch unten, und definiert eine Komonade ${\displaystyle (W_{p},\mu ,w_{0})}$.^[6]

Die Restriktion auf ${\displaystyle p}$-torsionsfreie Ringe lässt sich dadurch beseitigen, dass man zu ${\displaystyle p}$-Derivationen übergeht: Für einen Ring ${\displaystyle A}$ ist eine ${\displaystyle p}$-Derivation eine Abbildung ${\displaystyle \delta \colon A\to A}$, für die die Abbildung

${\displaystyle s_{2,\delta }\colon A\to W_{p,2}(A),\ a\mapsto (a,\delta (a))}$

ein Ringhomomorphismus ist. Konkret bedeutet das, dass ${\displaystyle \delta }$ die folgenden Gleichungen erfüllt:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\delta (1)=0\\&\delta (a+b)=S_{1}(a,\delta (a),b,\delta (b))=\delta (a)+\delta (b)+\sum _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{p}}{\binom {p}{k}}a^{k}b^{p-k}\\&\delta (ab)=P_{1}(a,\delta (a),b,\delta (b))=a^{p}\delta (b)+\delta (a)b^{p}+p\cdot \delta (a)\delta (b)\end{aligned}}}$

Eine ${\displaystyle p}$-Derivation ${\displaystyle \delta }$ definiert durch ${\displaystyle w_{p,1}\circ s_{2,\delta }\colon a\mapsto a^{p}+p\cdot \delta (a)}$ einen Frobeniuslift auf ${\displaystyle A}$. Ist ${\displaystyle A}$ torsionsfrei, erhält man umgekehrt aus einem Frobeniuslift ${\displaystyle \sigma }$ eine ${\displaystyle p}$-Derivation

${\displaystyle \delta \colon A\to A,\ \delta (a)={\frac {\sigma (a)-a^{p}}{p}}}$

Ein Ring zusammen mit einer ${\displaystyle p}$-Derivation wird als δ-Ring bezeichnet.^[7]

Die Situation ist insofern analog zu gewöhnlichen Derivationen ${\displaystyle d\colon A\to A}$, als diese sich dadurch charakterisieren lassen, dass ${\displaystyle A\to A[T]/T^{2},\ a\mapsto (a,d(a))}$ ein Ringhomomorphismus ist.

Die Koalgebren für die oben definierte Komonade können mit den δ-Ringen identifiziert werden. Insbesondere ist ${\displaystyle W_{p}}$ rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der δ-Ringe in die Kategorie der Ringe.^[8] Es existiert auch eine duale Beschreibung basierend auf der „Plethorie“ ${\displaystyle \Lambda _{p}}$, die ${\displaystyle W_{p}}$ als Endofunktor der Kategorie der Ringe darstellt.^[9]

Sei ${\displaystyle A}$ ein Ring mit ${\displaystyle pA=0}$.

• Wenn ${\displaystyle A}$ ein Integritätsbereich ist, dann auch ${\displaystyle W_{p}(A)}$, und es gilt ${\displaystyle {\text{char}}(W_{p}(A))=0}$.
• Die Einheiten von ${\displaystyle W_{p}(A)}$ sind genau die Elemente ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle x_{0}\in A^{*}}$.
• Wenn ${\displaystyle A}$ ein Körper ist, dann ist ${\displaystyle W_{p}(A)}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal ${\displaystyle V(W_{p}(A))}$. Außerdem ist ${\displaystyle W_{p}(A)}$ genau dann noethersch, wenn ${\displaystyle A}$ perfekt ist.^[10]
• Wenn ${\displaystyle A\to A,\ a\mapsto a^{p}}$ surjektiv ist, dann ist ${\displaystyle V(W_{p}(A))=pW_{p}(A)}$ und somit ${\displaystyle W_{p}(A)/pW_{p}(A)\cong A}$.
• Ist ${\displaystyle A}$ perfekt, d. h. ${\displaystyle a\mapsto a^{p}}$ bijektiv, dann lässt sich ein Wittvektor ${\displaystyle x=(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )}$ mit der Teichmüller-Abbildung ${\displaystyle \tau \colon A\to W_{p}(A)}$ als ${\displaystyle p}$-adisch konvergente Reihe schreiben:

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }V^{n}\tau (x_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }p^{n}\cdot \tau (x_{n}^{1/p^{n}})}$

• Ist ${\displaystyle A}$ ein Integritätsbereich, und sind alle Primzahlen ${\displaystyle \neq p}$ in ${\displaystyle A}$ invertierbar (z. B. wenn ${\displaystyle A}$ ein Körper ist), dann kann man die Einheitengruppen ${\displaystyle A[[T]]^{*}}$ und ${\displaystyle A((T))^{*}}$ (formale Potenzreihen bzw. Laurentreihen) sowie ${\displaystyle (A[T]/T^{n}A[T])^{*}}$ durch ${\displaystyle W_{p}(A)}$ beschreiben, siehe unten.

• Artin-Schreier-Witt-Theorie: Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$, können abelsche Erweiterungen vom Exponenten ${\displaystyle p^{n}}$ von ${\displaystyle K}$ mit Hilfe der Wittvektoren ${\displaystyle W_{p,n}}$ klassifiziert werden.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein Schema über einem Körper ${\displaystyle k}$ der Charakteristik ${\displaystyle p}$, dann gibt es nicht immer ein flaches Schema ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ über ${\displaystyle W_{p}(k)}$ mit ${\displaystyle {\tilde {X}}\times _{{\text{Spec }}W_{p}(k)}{\text{Spec }}k\cong X}$. Die Existenz eines Lifts nach ${\displaystyle W_{p,2}(k)}$ spielt eine Rolle im Beweis der Degeneration der Hodge-de-Rham-Spektralsequenz von Pierre Deligne und Luc Illusie.^[11]
• Ist ${\displaystyle X/k}$ glatt, existieren Lifts lokal. Stattet man die lokalen Lifts noch mit einer PD-Struktur aus, die bewirkt, dass ein Analogon des Poincaré-Lemmas gilt, erhält man die kristalline Kohomologie. Die kristallinen Kohomologiegruppen sind ${\displaystyle W(k)}$-Moduln. Tensoriert man mit dem Quotientenkörper, erhält man eine Weil-Kohomologie, die l-adische Kohomologie für ${\displaystyle l\neq p}$ ergänzend.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein Schema über ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, so ist der topologische Raum ${\displaystyle X}$ mit der Garbe ${\displaystyle W_{n}{\mathcal {O}}_{X}}$ wieder ein Schema ${\displaystyle W_{n}(X)}$. Der De-Rham-Witt-Komplex ${\displaystyle W_{n}\Omega _{X}^{\cdot }}$ ist ein geeigneter Quotient von ${\displaystyle \Omega _{W_{n}{\mathcal {O}}_{X}}^{\cdot }}$. Für ${\displaystyle X}$ glatt ist die kristalline Kohomologie ${\displaystyle H^{*}(X/W_{n})}$ isomorph zur Hyperkohomologie von ${\displaystyle W_{n}\Omega _{X}^{\cdot }}$.^[12]
• Es gibt Ansätze, Wittvektoren auf die Analyse des Verschlüsselungsverfahrens NTRUEncrypt anzuwenden.^[13]

Sei ${\displaystyle k}$ ein perfekter Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$. Die Wittvektoren der Länge ${\displaystyle n}$ bilden eine kommutative algebraische Gruppe ${\displaystyle W_{n}}$ über ${\displaystyle k}$, die als Varietät isomorph zum affinen Raum ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ist. ${\displaystyle W_{n}}$ ist eine unipotente Gruppe: Das folgt aus der Filtrierung ${\displaystyle V^{k}W_{n}}$ mit Subquotienten ${\displaystyle \cong \mathbb {G} _{a}}$ oder der Artin-Hasse-Einbettung ${\displaystyle W_{n}(A)\to (A[T]/(T^{p^{n}+1}))^{*}}$.

In Charakteristik 0 ist jede kommutative unipotente Gruppe isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{d}}$. In positiver Charakteristik ist die Theorie wesentlich komplexer: Es gibt nichttriviale Erweiterungen, und außer ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ gibt es noch die möglichen Kompositionsfaktoren ${\displaystyle {\underline {\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }}}$ und ${\displaystyle \alpha _{p}}$ (der Kern des Frobeniusmorphismus auf ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$, explizit ${\displaystyle \alpha _{p}(A)=\{a\in A:a^{p}=0\}}$).

Jede kommutative unipotente Gruppe über ${\displaystyle k}$ ist isogen zu einem Produkt von Wittvektorgruppen.^[14] Der Hauptsatz der klassischen Dieudonné-Theorie besagt: Der Funktor

${\displaystyle M(G)=\varinjlim _{n}{\text{Hom}}(G,W_{n})}$

definiert eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen über ${\displaystyle k}$ und der Kategorie der endlich erzeugten ${\displaystyle D_{k}}$-Moduln, auf denen ${\displaystyle V}$ nilpotent wirkt.^[15] Mit Hilfe der Cartier-Dualität oder mit Witt-Kovektoren kann man eine analoge Äquivalenz für endliche ${\displaystyle p}$-Gruppen sowie für p-divisible Gruppen konstruieren.^[16]

Für eine abelsche Varietät ${\displaystyle X/k}$ gibt es einen kanonischen Isomorphismus von ${\displaystyle D_{k}}$-Moduln ${\displaystyle M({}_{p}X)\cong H_{\text{DR}}^{1}(X)}$. Dabei ist ${\displaystyle {}_{p}X}$ der Kern der Multiplikation mit ${\displaystyle p}$ auf ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle H_{\text{DR}}^{1}(X)}$ die algebraische De-Rham-Kohomologie von ${\displaystyle X}$.^[17] Der Dieudonné-Modul der ${\displaystyle p}$-divisiblen Gruppe von ${\displaystyle X}$ ist isomorph zur kristallinen Kohomologie ${\displaystyle H_{\text{cris}}^{1}(X/W)}$.^[18]

Wie Wittvektoren eine Verallgemeinerung der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} _{p}=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ sind, so sind Witt-Kovektoren eine Verallgemeinerung der Prüfergruppe ${\displaystyle CW(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}=\varinjlim _{n}{\tfrac {1}{p^{n}}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$. Der Funktor ${\displaystyle M(G)={\text{Hom}}(G,CW)}$ erlaubt eine einheitliche Darstellung der Dieudonné-Theorie für endliche kommutative ${\displaystyle p}$-Gruppen und ${\displaystyle p}$-divisible Gruppen über einem perfekten Körper.^[19]

Für einen Ring ${\displaystyle A}$ sei ${\displaystyle CW^{u}(A)}$ der direkte Limes von

${\displaystyle W_{p,1}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}W_{p,2}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}W_{p,3}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}\dots }$

Damit wird ${\displaystyle CW^{u}}$ zu einem Ind-Gruppenschema. In älterer Literatur wird auch das Symbol ${\displaystyle \mathop {W} _{\to }}$ verwendet. ${\displaystyle CW^{u}(A)}$ heißt Gruppe der unipotenten Witt-Kovektoren.^[20]

Die Konstruktion der topologischen Gruppe ${\displaystyle CW(A)}$ aller Witt-Kovektoren ist komplizierter: Elemente in ${\displaystyle CW^{u}(A)}$ können mit Folgen ${\displaystyle (x_{0},x_{-1},x_{-2},\dots )}$ identifiziert werden, die ab einem Index null sind. Mit denselben universellen Formeln kann man für Folgen, die ab einem festen Index ${\displaystyle r}$ Werte in einem festen nilpotenten Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ haben, eine Addition erklären. Statte diese Gruppen ${\displaystyle CW(A,{\mathfrak {n}},r)}$ mit der Produkttopologie von ${\displaystyle A^{r}\times {\mathfrak {n}}^{\mathbb {N} }}$ mit diskreten Faktoren aus und setze ${\displaystyle CW(A)=\varinjlim _{{\mathfrak {n}},r}CW(A,{\mathfrak {n}},r)}$. Die unipotenten Kovektoren ${\displaystyle CW^{u}(A)}$ bilden eine dichte Untergruppe von ${\displaystyle CW(A)}$.^[21]

Sei ${\displaystyle A}$ ein perfekter Ring der Charakteristik ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle f\colon A\to B}$ eine ${\displaystyle A}$-Algebra. Die Abbildung

${\displaystyle W_{p}(A)\times W_{p,n}(B)\to W_{p,n}(B),\ \ (a,b)\mapsto W(f)(F^{1-n}a)\cdot b}$

macht ${\displaystyle W_{p,n}(B)}$ zu einem ${\displaystyle W_{p}(A)}$-Modul (abweichend von der weiter oben definierten Modulstruktur), und mit dem Frobenius und der Verschiebung wird ${\displaystyle W_{p,n}(B)}$ zu einem ${\displaystyle D_{A}}$-Modul. Die Verschiebung ${\displaystyle W_{p,n}(B)\to W_{p,n+1}(B)}$ ist ${\displaystyle D_{A}}$-linear, und man erhält eine ${\displaystyle D_{A}}$-Modulstruktur auf ${\displaystyle CW^{u}(B)}$ und ${\displaystyle CW(B)}$.^[22]

Sei ${\displaystyle A}$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Uniformisierender ${\displaystyle \pi }$, dessen Restklassenkörper ein endlicher Körper mit ${\displaystyle q}$ Elementen ist. Dann gibt es genau eine funktorielle ${\displaystyle A}$-Algebra-Struktur auf ${\displaystyle W_{\pi }^{A}(B)=B^{\mathbb {N} _{0}}}$ für ${\displaystyle A}$-Algebren ${\displaystyle B}$, so dass

${\displaystyle w_{\pi ,n}:W_{\pi }^{A}(B)\to B,\ \ (x_{0},x_{1},\dots )\mapsto \sum _{k=0}^{n}\pi ^{k}x_{k}^{q^{n-k}}}$

für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ein Homomorphismus von ${\displaystyle A}$-Algebren ist. Es gibt Frobenius- und Verschiebungsoperatoren ${\displaystyle F_{\pi },V_{\pi }}$, die durch

${\displaystyle w_{\pi ,n}\circ V_{\pi }=\pi \cdot w_{\pi ,n-1},\ \ w_{\pi ,n}\circ F_{\pi }=w_{\pi ,n+1}}$

charakterisiert sind. Für eine endliche Erweiterung ${\displaystyle \lambda /\mathbb {F} _{q}}$ des Restklassenkörpers von ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle W_{\pi }^{A}(\lambda )}$ eine unverzweigte Erweiterung von ${\displaystyle A}$ vom Grad ${\displaystyle [\lambda :\mathbb {F} _{q}]}$. Verzweigte Wittvektoren übernehmen die Rolle der gewöhnlichen Wittvektoren bei der Übertragung der Cartier-Theorie auf formale ${\displaystyle A}$-Moduln.^[23]

Bezeichne ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$ die Menge der positiven ganzen Zahlen.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome ${\displaystyle S_{i},P_{i}\in \mathbb {Z} [X_{1},\dots ,X_{i},Y_{1},\dots ,Y_{i}]}$ derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement ${\displaystyle A}$ gilt: ${\displaystyle W(A)=A^{\mathbb {N} _{1}}}$ ist ein Ring mit Addition

${\displaystyle x+y=(S_{1}(x_{1},y_{1}),S_{2}(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}),S_{3}(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}),\dots )}$

und Multiplikation

${\displaystyle x\cdot y=(P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}),\dots )}$

und für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{1}}$ ist die Abbildung

${\displaystyle W(A)\to A,\ \ x\mapsto \sum _{d|n}dx_{d}^{n/d}}$

ein Ringhomomorphismus. Auch das additiv Inverse ${\displaystyle -x}$ ist durch universelle Polynome gegeben. ${\displaystyle W(A)}$ heißt der Ring der großen oder universellen Wittvektoren mit Einträgen aus ${\displaystyle A}$.

Ist ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {N} _{1}}$ eine Teilmenge, so dass für ${\displaystyle n\in S}$ auch jeder Teiler von ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle S}$ liegt, dann ist ${\displaystyle W_{S}(A)=A^{S}}$ mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation von ${\displaystyle W(A)}$ ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement. Für ${\displaystyle S=\{1,\dots ,n\}}$ erhält man den Ring ${\displaystyle W_{[n]}(A)}$ der großen Wittvektoren der Länge ${\displaystyle n}$, für ${\displaystyle S=\{1,p,p^{2},\dots \}}$ mit einer Primzahl ${\displaystyle p}$ erhält man bis auf Umindizierung den Ring der ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren, siehe unten.

Das Ringelement

${\displaystyle x^{(n)}=\sum _{d|n}dx_{d}^{n/d}}$

wird als ${\displaystyle n}$-te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von ${\displaystyle x\in W(A)}$ bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

${\displaystyle w_{n}(X)=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}}$

kann man ${\displaystyle S_{n}}$ und ${\displaystyle P_{n}}$ rekursiv berechnen:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(X,Y)&={\frac {1}{n}}\left(w_{n}(X)+w_{n}(Y)-\sum _{d|n,\ d<n}dS_{d}^{n/d}(X,Y)\right)\\P_{n}(X,Y)&={\frac {1}{n}}\left(w_{n}(X)\cdot w_{n}(Y)-\sum _{d|n,\ d<n}dP_{d}^{n/d}(X,Y)\right)\end{aligned}}}$

Die Abbildung ${\displaystyle \tau \colon A\to W(A),\ a\mapsto (a,0,0,\dots )}$ ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem.

${\displaystyle W}$ ist als mengenwertiger Funktor darstellbar durch einen Polynomring in abzählbar unendlich vielen Unbestimmten. In der Praxis verwendet man konkret den Ring der symmetrischen Polynome, und Strukturen von ${\displaystyle W}$ zu übertragen.^[24]

Sei ${\displaystyle \Lambda (A)=1+T\cdot A[[T]]\subseteq A[[T]]^{*}}$ die multiplikative Gruppe der formalen Potenzreihen mit konstantem Term 1. Die Abbildung

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(A)\to \Lambda (A)\\&x\mapsto \prod _{n\geq 1}(1-x_{n}(-T)^{n})\end{aligned}}}$

ist ein Isomorphismus von Gruppen ${\displaystyle (W(A),{+})\cong (\Lambda (A),{\cdot })}$.^[25] Für ${\displaystyle x\in W(A)}$ hat

${\displaystyle -T\cdot {\frac {\partial }{\partial T}}\log \prod _{n\geq 1}(1-x_{n}(-T)^{n})=\sum _{n\geq 1}x^{(n)}(-T)^{n}}$

als Koeffizienten die Geisterkomponenten von ${\displaystyle x}$.

Unter dem Isomorphismus wird das Produkt zweier Wittvektoren ${\displaystyle x,y\in W(A)}$ abgebildet auf:

${\displaystyle \prod _{d,e\geq 1}(1-x_{d}^{m/d}y_{e}^{m/e}(-T)^{m})^{de/m}}$

wobei jeweils ${\displaystyle m={\text{kgV}}(d,e)}$. Schreibe ${\displaystyle *}$ für die der Multiplikation in ${\displaystyle W(A)}$ entsprechende Verknüpfung auf ${\displaystyle \Lambda (A)}$, so dass ${\displaystyle (W(A),{+},{\cdot },0,1)\cong (\Lambda (A),{\cdot },{*},1,1+T)}$ ein Isomorphismus von Ringen ist. Als Spezialfall der Multiplikationsformel ergibt sich^[26]

${\displaystyle (1+x_{1}T)*(1+y_{1}T)=1+x_{1}y_{1}T}$

Zu jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{1}}$ gibt es Operatoren ${\displaystyle F_{n}}$ und ${\displaystyle V_{n}}$. Ihre Wirkung auf den Geisterkomponenten ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}&w_{m}(V_{n}(x))={\begin{cases}n\cdot w_{m/n}(x)&{\text{falls }}n|m\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}\\&w_{m}(F_{n}(x))=w_{mn}(x)\end{aligned}}}$

In ${\displaystyle \Lambda (A)}$ ist

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{n}(f(T))=f((-1)^{n+1}T^{n})\\&F_{n}(f)((-1)^{n+1}T^{n})=\prod _{k=1}^{n}f(\zeta ^{k}T)=N_{A[[T]]/A[[T^{n}]]}(f(T))\end{aligned}}}$

Dabei ist ${\displaystyle \zeta }$ eine formale primitive ${\displaystyle n}$-te Einheitswurzel und ${\displaystyle N}$ die Norm.^[27] Insbesondere gilt

${\displaystyle F_{n}(1+aT)=1+a^{n}T}$

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ sei ${\displaystyle [n]}$ die Multiplikation mit ${\displaystyle n}$ auf ${\displaystyle W(A)}$, also

${\displaystyle {\begin{aligned}&w_{m}([n](x))=n\cdot w_{m}(x)\\{}&[n](f(T))=f(T)^{n}\end{aligned}}}$

Ist ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle R}$-Algebra (insbesondere ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$), dann gibt es für jedes ${\displaystyle r\in R}$ einen Operator ${\displaystyle \langle r\rangle \colon W(A)\to W(A)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&w_{m}(\langle r\rangle (x))=r^{m}\cdot w_{m}(x)\\&\langle r\rangle (f(T))=f(rT)\end{aligned}}}$

Es gilt für ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} _{1}}$, ${\displaystyle r,q\in R}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{m}V_{n}&=V_{mn}\\F_{m}F_{n}&=F_{mn}\\V_{m}F_{n}&=F_{n}V_{m}{\text{ falls ggT}}(m,n)=1\\F_{n}V_{n}&=[n]\\\langle r\rangle \langle s\rangle &=\langle rs\rangle \\\langle r\rangle V_{n}&=V_{n}\langle r^{n}\rangle \\F_{n}\langle r\rangle &=\langle r^{n}\rangle F_{n}\\\langle r\rangle +\langle q\rangle &=\sum _{n=1}^{\infty }V_{n}\langle s_{n}(r,q)\rangle F_{n}\end{aligned}}}$

In der letzten Formel steht ${\displaystyle s_{n}(r,q)}$ für die ${\displaystyle n}$-te Komponente von ${\displaystyle \tau (r)+\tau (q)\in W(R)}$.

Sei ${\displaystyle p}$ eine Primzahl. Die Abbildung ${\displaystyle W(A)\to W_{p}(A)}$, ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{1}}\mapsto (x_{p^{n}})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$, ist ein surjektiver Ringhomomorphismus. Die ${\displaystyle p}$-typischen Wittpolynome ${\displaystyle w_{p,n}}$ sind unter dieser Umindizierung gleich den großen Wittpolynomen ${\displaystyle w_{p^{n}}}$, dasselbe gilt damit auch für die Geisterkomponenten.

Die Teilmenge ${\displaystyle \{x\in W(A):x_{k}\neq 0\Rightarrow k=p^{n}\}}$ ist kein Unterring von ${\displaystyle W(A)}$. In bestimmten Fällen kann man jedoch ${\displaystyle W_{p}(A)}$ in ${\displaystyle W(A)}$ einbetten.

Die Artin-Hasse-Exponentialfunktion

${\displaystyle E_{0}(X)=\exp \left(\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {X^{p^{m}}}{p^{m}}}\right)=\prod _{p\nmid m}(1-X^{m})^{-\mu (m)/m}}$

kann als Element von ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}[[X]]}$ aufgefasst werden (d. h. die Koeffizienten haben nicht durch ${\displaystyle p}$ teilbare Nenner, siehe Lokalisierung; ${\displaystyle \mu }$ ist die Möbius-Funktion).

Ist ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$-Algebra, d. h. sind alle Primzahlen ${\displaystyle \neq p}$ in ${\displaystyle A}$ invertierbar, dann ist für einen Wittvektor ${\displaystyle x\in W_{p}(A)}$ das Element

${\displaystyle E(x)=\prod _{n=0}^{\infty }E_{0}(x_{n}T^{p^{n}})=\exp \left(\sum _{n}w_{p,n}(x){\frac {T^{p^{n}}}{p^{n}}}\right)\in \Lambda (A)}$

wohldefiniert. ${\displaystyle e=E(1)=E_{0}(T)}$ ist ein Idempotent in ${\displaystyle \Lambda (A)}$, und ${\displaystyle E:W_{p}(A)\to \Lambda (A)\cong W(A)}$ induziert einen Ringisomorphismus ${\displaystyle W_{p}(A)\to e*\Lambda (A)}$. Bezeichne die ${\displaystyle e*\Lambda (A)}$ entsprechende Untergruppe von ${\displaystyle W(A)}$ mit ${\displaystyle W_{(p)}(A)}$. Dann gilt:

${\displaystyle W_{(p)}(A)=\{x\in W(A):p\nmid n\implies F_{n}x=0\}}$

Der Ring ${\displaystyle W(A)}$ zerfällt als direktes Produkt der ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}V_{m}W_{(p)}(A)}$ für ${\displaystyle p\nmid m}$.^[28] Für beliebige Ringe ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle W(A)\cong W^{p}(W_{p}(A))}$, wenn ${\displaystyle W^{p}(R)}$ den Quotienten von ${\displaystyle W(A)}$ bezeichnet, den man durch Projektion auf die Komponenten mit nicht durch ${\displaystyle p}$ teilbarem Index erhält.^[29]

Frobenius ${\displaystyle F_{p}}$ und Verschiebung ${\displaystyle V_{p}}$ schränken sich zu Operatoren auf ${\displaystyle W_{(p)}}$ ein und stimmen dort mit den auf ${\displaystyle W_{p}}$ erklärten Operatoren ${\displaystyle F}$ bzw. ${\displaystyle V}$ überein.

Für einen Körper ${\displaystyle k}$ der Charakteristik ${\displaystyle p}$ ist ${\displaystyle \Lambda (k)}$ die Einseinheitengruppe von ${\displaystyle k((T))}$, und so erhält man den Isomorphismus

${\displaystyle k((T))^{*}\cong k^{*}\times \mathbb {Z} \times W_{p}(k)^{I(p)}}$ mit ${\displaystyle I(p)=\{n\in \mathbb {N} :p\nmid n\}}$

Für jede ${\displaystyle k}$-Algebra ${\displaystyle A}$ ist

${\displaystyle W_{[n]}(A)\cong \Lambda _{[n]}(A)=\{1+a_{1}T+\dots +a_{n}T^{n}\in (A[T]/T^{n+1}A[T])^{*}\}}$

Das Abschneiden bei ${\displaystyle n}$ reduziert den Faktor ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}V_{m}W_{(p)}(A)}$ auf ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}V_{m}W_{p,r_{m}}(A)}$, wobei ${\displaystyle r_{m}}$ die kleinste ganze Zahl mit ${\displaystyle m\cdot p^{r_{m}}\geq n+1}$ ist. Man erhält also einen Isomorphismus von algebraischen Gruppen (über ${\displaystyle k}$)^[30]

${\displaystyle \Lambda _{[n]}\cong \prod _{m\leq n,\ p\nmid m}W_{p,r_{m}}}$

Die Artin-Hasse-Exponentialabbildung hängt auch mit der Komonadenstruktur ${\displaystyle \mu \colon W_{p}\to W_{p}\circ W_{p}}$ zusammen: Für einen perfekten Körper ${\displaystyle k}$ der Charakteristik ${\displaystyle p}$ ist die Verkettung von

${\displaystyle W_{p}(k)\to \Lambda (W_{p}(k)),\ \ x\mapsto \prod _{i=0}^{\infty }E_{0}(\tau (x_{i}^{p^{-i}})\cdot T)^{p^{i}}}$

mit der Projektion ${\displaystyle \Lambda (W_{p}(k))\cong W(W_{p}(k))\to W_{p}(W_{p}(k))}$ gleich ${\displaystyle \mu }$.^[31]

Es gibt einen kanonischen Ringhomomorphismus ${\displaystyle \mu _{A}\colon W(A)\to W(W(A))}$, der ${\displaystyle w_{n}\circ \mu =F_{n}}$ erfüllt. Wenn ${\displaystyle A}$ als abelsche Gruppe torsionsfrei ist, ist ${\displaystyle \mu }$ durch diese Bedingung eindeutig bestimmt, und für andere Ringe ist ${\displaystyle \mu }$ dadurch charakterisiert, dass für eine Surjektion ${\displaystyle f\colon A'\to A}$ mit einem torsionsfreien Ring ${\displaystyle A'}$ die Gleichung ${\displaystyle \mu _{A}\circ W(f)=W(W(f))\circ \mu _{A'}}$ gilt. Zusammen mit ${\displaystyle w_{1}\colon W(A)\to A}$ wird ${\displaystyle W}$ zu einer Komonade.^[32] Überträgt man die Koalgebren zu dieser Komonade auf ${\displaystyle \Lambda (A)}$, erhält man die so genannten λ-Ringe.

Die erste Geisterkomponente ${\displaystyle w_{1}\colon W(A)\to A}$ entspricht in ${\displaystyle \Lambda (A)}$ dem ersten Koeffizienten:

${\displaystyle w_{1}\colon \Lambda (A)\to A,\ 1+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\dots \mapsto a_{1}}$

Ein Prä-λ-Ring ist ein Ring ${\displaystyle A}$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \lambda \colon A\to \Lambda (A)}$ mit ${\displaystyle w_{1}\circ \lambda ={\text{id}}_{A}}$. Diese Bedingung ist die Kompatibilität mit der Koeins der Komonade. Bezeichnet man die Koeffizienten von ${\displaystyle \lambda (a)}$ mit ${\displaystyle \lambda ^{n}(a)}$, also

${\displaystyle \lambda (a)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}(a)T^{n}}$

dann ist eine Prä-λ-Struktur äquivalent zur Angabe von Abbildungen ${\displaystyle \lambda ^{n}\colon A\to A}$ für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, die die folgenden Gleichungen erfüllen:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda ^{0}(a)=1\\&\lambda ^{1}(a)=a\\&\lambda ^{n}(a+b)=\sum _{k=0}^{n}\lambda ^{k}(a)\lambda ^{n-k}(b)\end{aligned}}}$

Ein λ-Homomorphismus ${\displaystyle (A,\lambda _{A})\to (B,\lambda _{B})}$ ist ein Ringhomomorphismus ${\displaystyle f\colon A\to B}$ mit ${\displaystyle \Lambda (f)\circ \lambda _{A}=\lambda _{B}\circ f}$, d. h. das folgende Diagramm kommutiert:

${\displaystyle {\begin{matrix}A&\rightarrow &B\\\downarrow &&\downarrow \\\Lambda (A)&\rightarrow &\Lambda (B)\end{matrix}}}$

Der Ring ${\displaystyle \Lambda (A)}$ besitzt wie oben ausgeführt für jeden Ring ${\displaystyle A}$ eine kanonische Prä-λ-Struktur. Ein λ-Ring ist ein Prä-λ-Ring, für den ${\displaystyle \lambda \colon A\to \Lambda (A)}$ ein λ-Homomorphismus ist. Das obige Diagramm ist für ${\displaystyle B=\Lambda (A)}$ gerade die Kompatibilität mit der Komultiplikation der Komonade. Übersetzt in die ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ sind das zusätzliche Bedingungen der folgenden Form:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda ^{n}(1)=0{\text{ falls }}n>1\\&\lambda ^{n}(ab)=P_{n}(\lambda ^{1}(a),\dots ,\lambda ^{n}(a),\lambda ^{1}(b),\dots ,\lambda ^{n}(b))\\&\lambda ^{m}(\lambda ^{n}(a))=Q_{n,m}(\lambda ^{1}(a),\dots ,\lambda ^{mn}(a))\end{aligned}}}$

Die (universellen) Polynome ${\displaystyle P_{n}}$ beschreiben die ${\displaystyle *}$-Multiplikation auf ${\displaystyle \Lambda (A)}$ und besitzen wie die Polynome ${\displaystyle Q_{n,m}}$ eine Beschreibung mit Hilfe von elementarsymmetrischen Polynomen.

Die Koassoziativität der Komonade ${\displaystyle \Lambda }$ besagt, dass ${\displaystyle \Lambda (A)}$ selbst ein λ-Ring ist. Der Funktor ${\displaystyle \Lambda }$ ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der λ-Ringe in die Kategorie der Ringe.

Ist ${\displaystyle (A,\lambda )}$ ein λ-Ring, dann ist der Ringhomomorphismus

${\displaystyle A{\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}\Lambda (A)\cong W(A){\stackrel {w_{n}}{\longrightarrow }}A}$

die ${\displaystyle n}$-te Adams-Operation ${\displaystyle \psi _{n}}$ auf ${\displaystyle A}$. Es gilt ${\displaystyle \psi _{n}\circ \psi _{m}=\psi _{mn}}$. Für eine Primzahl ${\displaystyle p}$ ist ${\displaystyle w_{p}=X_{1}^{p}+pX_{p}}$, also ${\displaystyle \psi _{p}(a)\equiv a^{p}\mod pA}$, d. h. ${\displaystyle \psi _{p}}$ ist ein Frobeniuslift. Ist ${\displaystyle A}$ ein beliebiger Ring, dann ist die Adams-Operation ${\displaystyle \psi _{n}}$ auf dem λ-Ring ${\displaystyle \Lambda (A)}$ der Frobenius ${\displaystyle F_{n}}$.^[33]

Die Cartier-Theorie (nach Pierre Cartier) ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen einer geeigneten Kategorie kommutativer formaler Gruppen über einem Ring ${\displaystyle k}$ und einer Unterkategorie der Moduln über dem Cartier-Ring ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$.^[34]

Sei ${\displaystyle {\text{Nil}}(k)}$ die Kategorie der kommutativen ${\displaystyle k}$-Algebren ohne Einselement, die nur aus nilpotenten Elementen bestehen. Für die Zwecke der Theorie werden kommutative formale Gruppen mit Funktoren ${\displaystyle {\text{Nil}}(k)\to {\text{Ab}}}$ identifiziert. Ist ${\displaystyle F\in k[[X,Y]]}$ ein formales Gruppengesetz, ordnet der entsprechende Funktor einer Algebra ${\displaystyle A}$ die Menge ${\displaystyle A}$ mit der Gruppenstruktur ${\displaystyle (a,b)\mapsto F(a,b)}$ zu. Die formale Gruppe ${\displaystyle A\mapsto (A,{+})}$ ist die formale affine Gerade ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {A} }}^{1}}$. Die Funktoren können auf natürliche Weise auf die Kategorie der Algebren fortgesetzt werden, die filtrierende projektive Limites von Algebren in ${\displaystyle {\text{Nil}}(k)}$ sind.

Die formale Gruppe der Wittvektoren ist der Funktor ${\displaystyle {\widehat {W}}}$, der einer Algebra ${\displaystyle A}$ die Untergruppe der Wittvektoren in ${\displaystyle W(A)}$ zuordnet, die nur endlich viele von 0 verschiedene Komponenten haben. Die entsprechende Untergruppe ${\displaystyle {\widehat {\Lambda }}(A)\subseteq \Lambda (A)}$ besteht aus den Elementen, die bezüglich ${\displaystyle T}$ ein Polynom sind. Der Ring ${\displaystyle {\text{End}}({\widehat {W}})^{\text{op}}}$ wird mit ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$ bezeichnet und Cartier-Ring genannt. Die Operatoren ${\displaystyle F_{n},V_{n},\langle r\rangle }$ schränken sich zu Endomorphismen von ${\displaystyle {\widehat {W}}}$ ein und definieren damit Elemente ${\displaystyle V_{n},F_{n},\langle r\rangle \in {\text{Cart}}(k)}$. Dabei werden die Bezeichnungen von ${\displaystyle F_{n}}$ und ${\displaystyle V_{n}}$ vertauscht, so dass die obigen Relationen wegen der vertauschten Multiplikationsreihenfolge wieder gelten. Die Abbildung ${\displaystyle W(k)\to {\text{Cart}}(k)}$, ${\displaystyle \textstyle a\mapsto \sum _{n\geq 1}V_{n}\langle a_{n}\rangle F_{n}}$ ist ein injektiver Ringhomomorphismus.

Sei ${\displaystyle G}$ eine formale Gruppe. Die folgenden Gruppen sind natürlich isomorph:

• ${\displaystyle G(X\ k[[X]])=\varprojlim _{n}G(X\ k[X]/X^{n}\ k[X])}$
• die Gruppe der Morphismen ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {A} }}^{1}\to G}$ (nicht Gruppenhomomorphismen, d. h. natürliche Transformationen nur als mengenwertige Funktoren). Die Gruppenstruktur wird von der Gruppenstruktur auf ${\displaystyle G}$ induziert.
• die Gruppe der Homomorphismen ${\displaystyle {\widehat {W}}\to G}$

Ihre Elemente werden Kurven in ${\displaystyle G}$ genannt, die Gruppe mit ${\displaystyle C(G)}$ bezeichnet. Aus der letzten Beschreibung ergibt sich eine kanonische ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$-Linksmodulstruktur auf ${\displaystyle C(G)}$.

Die Potenzreihengruppe ${\displaystyle \Lambda (k)}$ kann mit ${\displaystyle C({\widehat {\mathbb {G} }}_{m})}$ identifiziert werden. Die Witt-Polynome entsprechen dem Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle C({\widehat {\mathbb {G} }}_{m})\to C({\widehat {\mathbb {G} }}_{a})}$, der von der logarithmischen Ableitung auf ${\displaystyle X\ k[[X]]}$ induziert wird.

In ${\displaystyle C(G)=G(X\ k[[X]])}$ wird die Operation von ${\displaystyle V_{n}\in {\text{Cart}}(k)}$ von ${\displaystyle X\mapsto X^{n}}$ induziert, die Operation von ${\displaystyle \langle r\rangle }$ von ${\displaystyle X\mapsto rX}$. Für ${\displaystyle F_{n}}$ betrachte wieder eine formale ${\displaystyle n}$-te Einheitswurzel ${\displaystyle \zeta }$ und bilde in ${\displaystyle G}$ die Summe der Kurven, die man durch ${\displaystyle X\mapsto \zeta ^{i}X^{1/n}}$ für ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n-1}$ erhält. Für ${\displaystyle G={\widehat {\mathbb {G} }}_{m}}$ ist eine Kurve durch das Bild ${\displaystyle f\in X\ k[[X]]}$ der Koordinate bestimmt. Identifiziert man ${\displaystyle 1+f}$ mit dem entsprechenden Element in ${\displaystyle \Lambda (k)}$, stimmen die Wirkungen von ${\displaystyle F_{n},V_{n},\langle r\rangle }$ mit den oben definierten überein (ohne Vertauschung von ${\displaystyle F_{n}}$ und ${\displaystyle V_{n}}$).

Sowohl ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$ als auch ${\displaystyle C(G)}$ tragen natürliche Topologien. Der Hauptsatz der Cartier-Theorie besagt, dass ${\displaystyle C}$ eine Äquivalenz zwischen einer Kategorie formaler Gruppen über ${\displaystyle k}$ und einer Kategorie topologischer ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$-Moduln induziert. Der inverse Funktor ordnet einem ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$-Modul ${\displaystyle M}$ ein geeignet konstruiertes Tensorprodukt ${\displaystyle {\widehat {W}}\otimes _{{\text{Cart}}(k)}M}$ zu.

Sei ${\displaystyle p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle k}$ eine ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$-Algebra, d. h. jede Primzahl ${\displaystyle \neq p}$ ist in ${\displaystyle k}$ invertierbar. Dann ist ${\displaystyle \textstyle \epsilon _{p}=\sum _{p\nmid n}{\frac {\mu (n)}{n}}V_{n}F_{n}}$ ein Idempotent in ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$, setze ${\displaystyle {\text{Cart}}_{p}(k)=\epsilon _{p}{\text{Cart}}(k)\epsilon _{p}}$. Für einen ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$-Modul ${\displaystyle M}$ ist ${\displaystyle \epsilon _{p}M\subseteq M}$ die Untergruppe der Elemente ${\displaystyle m\in M}$ mit ${\displaystyle F_{n}m=0}$ für alle ${\displaystyle p\nmid n}$. Solche Elemente heißen ${\displaystyle p}$-typisch.

Für eine formale Gruppe ${\displaystyle G}$ sei ${\displaystyle C_{p}(G)=\epsilon _{p}C(G)\cong {\text{Hom}}({\widehat {W}}_{p},G)}$ die Gruppe der ${\displaystyle p}$-typischen Kurven (dabei ${\displaystyle {\widehat {W}}_{p}}$ die formale Gruppe zu den ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren ${\displaystyle W_{p}}$, analog zu ${\displaystyle {\widehat {W}}}$). Dann induziert ${\displaystyle C_{p}}$ eine Äquivalenz zwischen der Kategorie formaler Gruppen über ${\displaystyle k}$ wie oben und einer Kategorie topologischer ${\displaystyle {\text{Cart}}_{p}(k)}$-Moduln. Der inverse Funktor ist wie vorher ein Tensorprodukt ${\displaystyle {\widehat {W}}_{p}\otimes _{{\text{Cart}}_{p}(k)}M}$.

Für einen perfekten Körper ${\displaystyle k}$ der Charakteristik ${\displaystyle p}$ kann der Dieudonné-Ring ${\displaystyle D_{k}}$ mit einem dichten Unterring in ${\displaystyle {\text{Cart}}_{p}(k)}$ identifiziert werden. Unter geeigneten Voraussetzungen ist der Dieudonné-Modul dual zum Modul der ${\displaystyle p}$-typischen Kurven, ${\displaystyle {\text{Hom}}_{W_{p}(k)}(M(G),W_{p}(k))\cong C_{p}(G)}$.

• Colette Schoeller hat Teile der ${\displaystyle p}$-typischen Theorie, nämlich die Konstruktion des Cohen-Rings und der Klassifikation der unipotenten Gruppen, auf nicht perfekte Körper ausgedehnt.^[35]
• Andreas Dress und Christian Siebeneicher haben die Konstruktion eines Rings ${\displaystyle W_{G}(A)}$ aus einer proendlichen Gruppe ${\displaystyle G}$ und einem Ring ${\displaystyle A}$ angegeben, so dass ${\displaystyle W_{G}(\mathbb {Z} )}$ isomorph zum komplettierten Burnside-Ring von ${\displaystyle G}$ ist. Für ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{p}}$ ergibt sich ${\displaystyle W_{p}(A)}$, für ${\displaystyle G={\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ergibt sich ${\displaystyle W(A)}$.^[36]

• George Mark Bergman: Ring Schemes: the Witt Scheme. In: David Mumford, Lectures on Curves on an Algebraic Surface. Princeton University Press, Princeton 1966, ISBN 0-691-07993-5. 
• Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-33942-6. 
• Michiel Hazewinkel: Witt Vectors. Part 1. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Handbook of Algebra. Vol. 6. Elsevier, Amsterdam 2009, ISBN 978-0-444-53257-2, S. 319–472, arxiv:0804.3888. 
• Jean-Pierre Serre: Local Fields. Springer, Berlin 1979, ISBN 3-540-90424-7. 

• Pierre Berthelot: Exposé V. Généralités sur les λ-anneaux. In: Pierre Berthelot, Alexandre Grothendieck, Luc Illusie (Hrsg.): Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie. 1966-67 − Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch (SGA 6) (= Lecture notes in mathematics). Band 225. Springer, Berlin 1971, ISBN 3-540-05647-5, S. 297–364. 
• James Borger: The basic geometry of Witt vectors, I: The affine case. In: Algebra and Number Theory. Band 5, Nr. 2, 2011, S. 231–285, doi:10.2140/ant.2011.5.231, arxiv:0801.1691 (maths.anu.edu.au). 
• James Borger, Ben Wieland: Plethystic Algebra. In: Advances in Mathematics. Band 194, Nr. 2, 2005, S. 246–283, arxiv:math.AC/0407227 (maths.anu.edu.au). 
• Michel Demazure: Lectures on p-Divisible Groups (= Lecture notes in mathematics. Band 302). Springer-Verlag, Berlin 1972, ISBN 3-540-06092-8. 
• Michel Demazure, Pierre Gabriel: Groupes algébriques. Tome 1. North-Holland, Amsterdam 1970, ISBN 0-7204-2034-2. 
• Michiel Hazewinkel: Formal Groups and Applications. Academic Press, New York 1978, ISBN 0-12-335150-2. 
• Luc Illusie: Complexe de De Rham-Witt et cohomologie cristalline. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 12, Nr. 4, 1979, S. 501–661 (numdam.org). 
• Jean-Pierre Serre: Algebraic Groups and Class Fields. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96648-X. 

• Witt vector. In: I.V. Dolgachev (originator): Encyclopedia of Mathematics.

1. ↑ Originalarbeit: Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: J. Reine Angew. Math. Band 176, 1936, S. 126–140. 
2. ↑ James Borger hat Argumente dafür vorgebracht, die Nummerierung ${\displaystyle W_{p,n}(A)=A^{n+1}}$ für ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ zu bevorzugen, siehe Borger 2011, 2.5
3. ↑ Hazewinkel 2009, Theorem 5.2. Bourbaki verwendet stattdessen eine Charakterisierung des Bilds von ${\displaystyle w:W_{p}(A)\to A^{\mathbb {N} _{0}}}$ und erhält die universellen Polynome durch Spezialisierung auf Polynomringe ${\displaystyle A}$.
4. ↑ Demazure-Gabriel, V §4, 2.1
5. ↑ Bourbaki, IX §1 Proposition 3. Hazewinkel 2009, 5.30
6. ↑ Illusie 1979, S. 508. Bourbaki, IX §1 Ex. 14, 15
7. ↑ Alexandru Buium: Arithmetic Differential Equations. AMS, Providence 2005, ISBN 0-8218-3862-8. 
8. ↑ André Joyal: δ-anneaux et vecteurs de Witt. In: C. R. Math. Acad. Sci., Soc. R. Can. Band 7, 1985, S. 177–182. 
9. ↑ Borger-Wieland 2005
10. ↑ Bourbaki, IX §1 Ex. 9
11. ↑ Pierre Deligne, Luc Illusie: Relèvements modulo p² et décomposition du complexe de de Rham. In: Inv. Math. Band 89, 1987, S. 247–270. 
12. ↑ Illusie 1979, Kap. II. Als Vorläufer dieser Konstruktion kann die folgende Arbeit von Spencer Bloch angesehen werden, in der er einen Komplex von Kurven im Sinn der Cartier-Theorie in der K-Theorie betrachtet: Spencer Bloch: Algebraic K-Theory and Crystalline Cohomology. In: Publ. math. de l’I.H.É.S. Band 47, 1977, S. 187–268.  Eine systematische Betrachtung von Verdickungen des Typs ${\displaystyle W_{n}(X)}$ sowie einer adjungierten Konstruktion findet sich in: James Borger: The basic geometry of Witt vectors. II: Spaces. In: Mathematische Annalen. Band 351, Nr. 4, 2011, S. 877–933, doi:10.1007/s00208-010-0608-1, arxiv:1006.0092. 
13. ↑ J. H. Silverman, Nigel Smart, F. Vercauteren: An algebraic approach to NTRU via Witt vectors and overdetermined systems of nonlinear equations. In: Carlo Blundo, Stelvio Cimato (Hrsg.): Security in Communication Networks: 4th International Conference, SCN 2004, Amalfi, Italy, September 8–10, 2004, Lecture Notes in Computer Science 3352. Springer-Verlag, 2005, S. 278–293. 
14. ↑ Demazure-Gabriel, V §3 6.11. Serre 1988, VII §2 10
15. ↑ Demazure-Gabriel, V §1 4
16. ↑ Demazure 1972, III §6–8
17. ↑ Corollary 5.11 in: Tadao Oda: The first de Rham cohomology group and Dieudonné modules. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 2, Nr. 1, 1969, S. 63–135 (online). 
18. ↑ Luc Illusie: Crystalline Cohomology. In: Uwe Jannsen et al. (Hrsg.): Motives (= Proceedings of Symposia in Pure Mathematics). Band 55, Nr. 1. American Mathematical Society, Providence 1994, S. 43–70. 
19. ↑ Jean-Marc Fontaine: Groupes p-divisibles sur les corps locaux. In: Astérisque. Band 47-48, 1977.  Pierre Berthelot: Théorie de Dieudonné sur un anneau de valuation parfait. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 13, Nr. 2, 1980, S. 225–268 (online). 
20. ↑ Bourbaki, IX §1 Ex. 23
21. ↑ Bourbaki, IX §1 Ex. 24
22. ↑ Bourbaki, IX §1 Ex. 25
23. ↑ Hazewinkel 1978, 25.3 und 25.6.4. Weitere Verallgemeinerungen dort und in Borger 2011.
24. ↑ Hazewinkel 2009 Kap. 10. Borger-Wieland 2005
25. ↑ Die Vorzeichenwahl ist uneinheitlich, drei Varianten finden sich bei Bourbaki, Hazewinkel und Bergman. Mit der hier getroffenen Wahl (wie bei Bourbaki oder Berthelot 1971) wird der Zusammenhang mit λ-Ringen einfacher.
26. ↑ Bourbaki, IX §1 Ex. 47. Vgl. Hazewinkel 2009, (9.15) und (9.27)
27. ↑ Bourbaki, IX §1 Ex. 47. Vgl. Hazewinkel 2009, Kap. 13
28. ↑ Bourbaki, IX §1 Ex. 40. Demazure-Gabriel, V §5, 3.4
29. ↑ Roland Auer: A functorial property of nested Witt vectors. In: Journal of Algebra. Band 252, Nr. 2, 2002, S. 293–299. 
30. ↑ Serre 1988, V §3 Proposition 9
31. ↑ Hazewinkel 1978 17.5
32. ↑ Bourbaki, IX §1 Ex. 41. Hazewinkel 2009 16.59
33. ↑ Bourbaki, IX §1 Ex. 48. Hazewinkel 2009, 16.22
34. ↑ Übersichtsartikel zum gesamten Abschnitt: Lawrence Breen: Rapport sur la Théorie de Dieudonné. In: Astérisque. Band 63, 1979, S. 39–66.  Siehe auch: Thomas Zink: Cartiertheorie kommutativer formaler Gruppen. Teubner, 1984, ISBN 3-322-00647-6.  Michel Lazard: Commutative Formal Groups. Springer, Berlin 1975, ISBN 3-540-07145-8.  Ching-Li Chai: Notes on Cartier Theory. (math.upenn.edu [PDF]). 
35. ↑ Colette Schoeller: Groupes affines, commutatifs, unipotents sur un corps non parfait. In: Bulletin de la S. M. F. Band 100, 1972, S. 241–300 (online). ; Bourbaki, IX §2 Ex. 10
36. ↑ Andreas Dress, Christian Siebeneicher: The Burnside ring of profinite groups and the Witt vector construction. In: Adv. Math. Band 70, 1988, S. 87–132.