Summe von drei Kubikzahlen

Welche Eigenschaft muss eine ganze Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ haben, damit sie als Summe dreier Kubikzahlen ${\displaystyle x^{3},\ y^{3}}$ und ${\displaystyle z^{3}}$ mit ganzzahligen Basen ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} }$ darstellbar ist?
Wie lauten zu einer gegebenen Zahl ${\displaystyle n}$ mögliche Zahlentripel ${\displaystyle x,\ y}$ und ${\displaystyle z}$, so dass ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ erfüllt ist? Wie viele Lösungen gibt es für eine gegebene Zahl ${\displaystyle n}$?

Die Lösungen dieser diophantischen Gleichung für gegebene ${\displaystyle n}$ ist ein seit 160 Jahren ungelöstes Problem der Zahlentheorie.^[1]

Lösungen der Gleichung

Darstellungen für n = 0

Die einfachste triviale Darstellung für ${\displaystyle n=0}$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

${\displaystyle 0=0^{3}+0^{3}+0^{3}}$.

Weitere triviale Darstellungen lauten:

${\displaystyle 0=0^{3}+a^{3}+(-a)^{3}}$  mit  ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$.

Nichttriviale Darstellungen existieren nicht.

Beweis:

Angenommen, es existiert eine nichttriviale Darstellung der Form ${\displaystyle 0=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ mit ${\displaystyle x,y,z\not =0}$ . Genau eine oder zwei der Variablen ${\displaystyle x,y,z}$ müssen negativ sein, denn sie können nicht alle drei gleichzeitig positiv oder negativ sein. Ohne Bedingung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass ${\displaystyle x>0,y>0,z<0}$ (Im Fall von zwei negativen Variablen, betrachtet man die Lösung ${\displaystyle -x,-y,-z}$). Bringt man ${\displaystyle z^{3}}$ auf die rechte Seite, erhält man mit ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=-z^{3}}$ eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z'^{3}}$ mit ${\displaystyle z'=-z>0}$. Dies steht aber im Widerspruch zum auf Kubikzahlen angewendeten Großen Fermatscher Satz, der besagt, dass die Gleichung ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$ für positive ganze Zahlen ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {N} }$ keine Lösungen besitzt. Somit muss die Annahme fallengelassen werden, was bedeutet, dass es keine nichttriviale Darstellung der Form ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=0}$ geben kann.  ∎ 

Darstellungen für n = 1

Die triviale Darstellung für ${\displaystyle n=1}$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

${\displaystyle 1=0^{3}+0^{3}+1^{3}}$.

Neben dieser existieren aber auch weitere Darstellungen, wie z. B.:

${\displaystyle 1=(-6)^{3}+(-8)^{3}+9^{3}}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle 1=131769^{3}+(-131802)^{3}+11980^{3}}$.

Neben diesen Einzellösungen existieren aber auch ganze Familien von Darstellungen. Die einfachste lautet:

${\displaystyle 1=c^{3}+(-c)^{3}+1^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$.

Zwei kompliziertere Lösungsfamilien wurden im Jahr 1936 vom Mathematiker Kurt Mahler entdeckt:^[1]

${\displaystyle 1=(9c^{4})^{3}+(\pm 3c-9c^{4})^{3}+(1\mp 9c^{3})^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \ \ =\underbrace {\bcancel {729c^{12}}} _{4}\quad \pm \underbrace {\bcancel {27c^{3}}} _{1}-\underbrace {\bcancel {243c^{6}}} _{2}\pm \underbrace {\bcancel {729c^{9}}} _{3}-\underbrace {\bcancel {729c^{12}}} _{4}\quad +1\mp \underbrace {\bcancel {27c^{3}}} _{1}+\underbrace {\bcancel {243c^{6}}} _{2}\mp \underbrace {\bcancel {729c^{9}}} _{3}=1}$

wie auch folgende:^[1]

${\displaystyle 1=(-135c^{4}+3888c^{10})^{3}+(3c-81c^{4}-1296c^{7}-3888c^{10})^{3}+(1-9c^{3}+648c^{6}+3888c^{9})^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$.

Für ${\displaystyle n=1}$ lieferte Lehmer unendlich viele polynomische Lösungsfamilien^[2]. Neben

${\displaystyle (x_{c,0},y_{c,0},z_{c,0})=(9c^{4},+3c-9c^{4},1-9c^{3})}$,

${\displaystyle (x_{c,1},y_{c,1},z_{c,1})=(9c^{4},-3c-9c^{4},1+9c^{3})}$

lassen sich für jedes einzelne ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$ unendlich viele weitere Tripel ${\displaystyle (x_{c,k},y_{c,k},z_{c,k})}$ mit ${\displaystyle k\geq 2}$ rekursiv mittels

${\displaystyle x_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)x_{c,k-1}-x_{c,k-2}-108c^{4}}$,

${\displaystyle y_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)y_{c,k-1}-y_{c,k-2}-108c^{4}}$ und

${\displaystyle z_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)z_{c,k-1}-z_{c,k-2}+216c^{6}+4}$

konstruieren.^[2] Für ${\displaystyle k=0}$ und ${\displaystyle 1}$ erhält man die einfachen Lösungen von Kurt Mahler, für ${\displaystyle k=2}$ die kompliziertere.

Darstellungen für n = 2

Die triviale Darstellung für ${\displaystyle n=2}$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

${\displaystyle 2=0^{3}+1^{3}+1^{3}}$.

Eine im Jahr 1908 entdeckte nichttriviale Darstellungs-Familie lautet^[1]

${\displaystyle 2=(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$.

Weitere bekannte Darstellungen, die nicht der obigen Familie angehören, sind:

${\displaystyle {\begin{array}{lrcrcr}2=&1214928^{3}&+&3480205^{3}&+&(-3528875)^{3}\\2=&37404275617^{3}&+&(-25282289375)^{3}&+&(-33071554596)^{3}\\2=&3737830626090^{3}&+&1490220318001^{3}&+&(-3815176160999)^{3}\end{array}}}$

Darstellungen für n = 3

Bis September 2019 waren die einzigen bekannten Darstellungen für ${\displaystyle n=3}$ als Summe dreier Kubikzahlen folgende:

${\displaystyle 3=1^{3}+1^{3}+1^{3}}$  und

${\displaystyle 3=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}}$

Überraschenderweise wurde im September 2019 eine weitere Darstellung entdeckt:^[3]

${\displaystyle 3=569936821221962380720^{3}+(-569936821113563493509)^{3}+(-472715493453327032)^{3}}$

Man weiß nicht, ob es nur diese drei, endlich viele oder unendlich viele Darstellungen für ${\displaystyle n=3}$ gibt.

Darstellungen für n = 4 und 5

Für ${\displaystyle n=4}$ und ${\displaystyle 5}$ gibt es keine Lösungen.

Darstellungen für n = 6

Es gibt mehrere Darstellungen; die für ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000}$ lauten:

${\displaystyle 6=(-1)^{3}+(-1)^{3}+2^{3}}$

${\displaystyle 6=(-43)^{3}+(-58)^{3}+65^{3}}$

${\displaystyle 6=(-55)^{3}+(-235)^{3}+236^{3}}$

${\displaystyle 6=(-205)^{3}+(-637)^{3}+644^{3}}$

Darstellungen für n = 7

Es gibt mehrere Darstellungen; die für ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000}$ lauten:

${\displaystyle 7=0^{3}+(-1)^{3}+2^{3}}$

${\displaystyle 7=32^{3}+104^{3}+(-105)^{3}}$

${\displaystyle 7=44^{3}+168^{3}+(-169)^{3}}$

Konstruierbare Lösungen für n = k³m

Lässt sich ${\displaystyle n}$ als Produkt einer Kubikzahl ${\displaystyle k^{3}}$ und einer Zahl ${\displaystyle m}$ darstellen, erbt diese Zahl ${\displaystyle n}$ alle Lösungen der Zahl ${\displaystyle m}$ auf folgende Weise:

${\displaystyle m=x^{3}+y^{3}+z^{3}\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=k^{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3})\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=(kx)^{3}+(ky)^{3}+(kz)^{3}}$

Beispiel

${\displaystyle 1=(-6)^{3}+(-8)^{3}+9^{3}\quad \longrightarrow \quad 8=(-12)^{3}+(-16)^{3}+18^{3}}$

Jeweils kleinste Darstellungen für n = 0 bis 107

Folgende Tabelle enthält für ${\displaystyle 0\leq n\leq 107,\ n\in \mathbb {N} _{0}}$ die jeweils kleinsten Lösungen der Gleichung ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|}$, ${\displaystyle \ x,y,z\in \mathbb {Z} }$:^[4]

^{[5][6][7][8][9]}

Chronologie der Entdeckungen

1954

Miller und Woolet fanden 69 der 78 möglichen Lösungen für ${\displaystyle 1\leq n\leq 100}$ per Brute-Force-Suche aller Kombinationen ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 2164}$.^[1]

Unbekannt blieben die Lösungen der neun Zahlen ${\displaystyle 30,\ 33,\ 39,\ 42,\ 52,\ 74,\ 75,\ 84}$ und ${\displaystyle 87}$.

Die letzten 5 der 69 gefundenen Zerlegungen lauten:

${\displaystyle 70=11^{3}+20^{3}+(-21)^{3}}$

${\displaystyle 96=14^{3}+20^{3}+(-22)^{3}}$

${\displaystyle 79=(-19)^{3}+(-33)^{3}+35^{3}}$

${\displaystyle 78=26^{3}+53^{3}+(-55)^{3}}$

${\displaystyle 51=602^{3}+659^{3}+(-796)^{3}}$

1963

Gardiner, Lazarus und Stein suchten weiter mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq 2^{16}}$ und ${\displaystyle 0\leq z-x\leq 2^{16}}$ für ${\displaystyle 1\leq n\leq 1000}$.^[1]

Für ${\displaystyle n\leq 100}$ fanden sie folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 87=(-1972)^{3}+(-4126)^{3}+4271^{3}}$

Für ${\displaystyle n\leq 1000}$ fanden sie 708 der 778 Lösungen.

Die letzten 5 der 708 gefundenen Zerlegungen lauten:

${\displaystyle 978=8666^{3}+40169^{3}+(-40303)^{3}}$

${\displaystyle 402=37685^{3}+41378^{3}+(-49915)^{3}}$

${\displaystyle 583=(-17419)^{3}+(-48223)^{3}+(48969)^{3}}$

${\displaystyle 227=24579^{3}+51748^{3}+(-53534)^{3}}$

${\displaystyle 971=7423^{3}+55643^{3}+(-55687)^{3}}$

1992

Heath-Brown, Lioen und te Riele fanden folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 39=117367^{3}+134476^{3}+(-159380)^{3}}$

1994

Conn und Vaseršteĭn fanden folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 84=(-8241191)^{3}+(-41531726)^{3}+41639611^{3}}$

1999

Für ${\displaystyle n\leq 100}$ waren bereits für 75 verschiedene ${\displaystyle n}$ Lösungen bekannt.

Es kamen hinzu:

${\displaystyle 75=4381159^{3}+435203083^{3}+(-435203231)^{3}}$

${\displaystyle 30=(-283059965)^{3}+(-2218888517)^{3}+2220422932^{3}}$

${\displaystyle 52=23961292454^{3}+60702901317^{3}+(-61922712865)^{3}}$

Damit fehlten nur noch die Lösungen für ${\displaystyle n=33,\ 42}$ und ${\displaystyle 74}$.

Für ${\displaystyle n\leq 1000}$ fanden sie 751 der 778 Lösungen.^[1]

2007

fehlten nur noch für folgende ${\displaystyle n}$ zwischen ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle 1000}$ obige Darstellungen:^[1]

${\displaystyle 33,\ 42,\ 74,\ 114,\ 165,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 795,\ 906,\ 921}$ und ${\displaystyle 975}$

2016

wurde das Problem für ${\displaystyle n=74}$ von Sander Huisman gelöst:^[6]

${\displaystyle 74=(-284650292555885)^{3}+66229832190556^{3}+283450105697727^{3}}$

2019

wurde das Problem für ${\displaystyle n=33}$ vom Mathematiker Andrew Booker mittels massivem Computer-Einsatz gelöst:^[10][11]

${\displaystyle 33=8866128975287528^{3}+(-8778405442862239)^{3}+(-2736111468807040)^{3}}$

September 2019

wurde das Problem für die letzte verbliebene Zahl ${\displaystyle n\leq 100}$, nämlich für ${\displaystyle n=42}$ ebenfalls von Andrew Booker und dem Mathematiker Andrew Sutherland gelöst:^[12][13]

${\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}}$

Da ${\displaystyle n=42}$ das letzte ungelöste Problem bis ${\displaystyle n\leq 100}$ für diese Art von Gleichung war, wurde spaßeshalber ein Zusammenhang mit der Antwort 42 aus der mehrfach verfilmten Roman- und Hörspielreihe Per Anhalter durch die Galaxis des englischen Autors Douglas Adams hergestellt.^[14]

bis Mitte 2020

wurden, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, drei weitere Fälle gelöst:

${\displaystyle 165=(-385495523231271884)^{3}+383344975542639445^{3}+98422560467622814^{3}}$

${\displaystyle 795=(-14219049725358227)^{3}+14197965759741571^{3}+2337348783323923^{3}}$

${\displaystyle 906=(-74924259395610397)^{3}+72054089679353378^{3}+35961979615356503^{3}}$

Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen ist somit nur noch für die folgenden acht Werte für ${\displaystyle n\leq 1000}$ unbekannt (Stand: 1. Juni 2020):^[12]

${\displaystyle 114,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 921}$ und ${\displaystyle 975}$

Momentan ist also die Gleichung ${\displaystyle 114=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ diejenige mit dem kleinsten natürlichen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, für die noch keine ganzzahlige Lösung bekannt ist.

Eigenschaften

• Sei ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ ganzzahlig lösbar. Dann ist eine notwendige Bedingung für ${\displaystyle n}$ die folgende:

${\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}$

Es ist nicht bekannt, ob diese Eigenschaft für ${\displaystyle n}$ auch hinreichend ist (dann wäre nämlich das bis dato ungelöste Problem der Zahlentheorie, dem dieser Artikel gewidmet ist, gelöst). Es wurde jedoch von Heath-Brown vermutet, dass die diophantische Gleichung ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ für alle ${\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}$ unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat.^[15]

• Es gibt einige spezielle Beziehungen zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle n}$, wie zum Beispiel die folgenden:^[16]

Sei ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ ganzzahlig lösbar. Bei gegebenem ${\displaystyle n}$ gelten die folgenden Bedingungen für ${\displaystyle x}$:

Wenn ${\displaystyle n\equiv +2{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv 0,+1,+2}$ oder ${\displaystyle +4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -2{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv 0,-1,-2}$ oder ${\displaystyle -4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv +3{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv +1,+2}$ oder ${\displaystyle +4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -3{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv -1,-2}$ oder ${\displaystyle -4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv +2{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\not \equiv +2{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -2{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\not \equiv -2{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv +3{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\equiv +1{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -3{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\equiv -1{\pmod {3}}}$.

Jeweils kleinste Darstellungen für n = 0 bis 91 der OEIS entnehmen

Im Folgenden wird beschrieben, wie die kleinsten Lösungen für größere n den Listen Folge A060464 in OEIS ... Folge A060467 in OEIS zu entnehmen sind. Die vier Listen enthalten jeweils in gleicher Abfolge die Werte für n, x, y und z für Werte von n, für die eine Lösung existiert und bekannt ist. Es ist jeweils die Lösung mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|}$ enthalten.

Folge A060464 in OEIS enthält die ${\displaystyle n}$:

00, 01, 02, 03,  06, 07, 08,

09, 10, 11, 12,  15, 16, 17,

18, 19, 20, 21,  24, 25, 26,

27, 28, 29, 30,  33, 34, 35,

36, 37, 38, 39,  42, 43, 44, …

Folge A060465 in OEIS enthält die ${\displaystyle x}$:

0, 0, 0, 1, −1, 0, 0,

0, 1, −2, 7, −1, −511, 1,

−1, 0, 1, −11, −2901096694, −1, 0,

0, 0, 1, −283059965, −2736111468807040, −1, 0,

1, 0, 1, 117367, 12602123297335631, 2, −5, …

Folge A060466 in OEIS enthält die ${\displaystyle y}$:

0, 0, 1, 1, −1, −1, 0,

1, 1, −2, 10, 2, −1609, 2,

−2, −2, −2, −14, −15550555555, −1, −1,

0, 1, 1, −2218888517, −8778405442862239, 2, 2,

2, −3, −3, 134476, 80435758145817515, 2, −7,

Folge A060467 in OEIS enthält die ${\displaystyle z}$:

0, 1, 1, 1, 2, 2, 2,

2, 2, 3, −11, 2, 1626, 2,

3, 3, 3, 16, 15584139827, 3, 3,

3, 3, 3, 2220422932, 8866128975287528, 3, 3,

3, 4, 4, −159380, −80538738812075974, 3, 8, …

Beispiel für n = 24, dem 19. Eintrag

In obigen vier Listen wurde jeweils der 19. Eintrag fett markiert. Die Werte lauten:

n = 24

x = −2901096694

y = −15550555555

z = 15584139827

Die kleinstmögliche Darstellung für n = 24 lautet damit:

${\displaystyle 24=(-2901096694)^{3}+(-15550555555)^{3}+15584139827^{3}}$

Trivia

• Für ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Q} }$ existieren immer Lösungen. Für eine gegebene Zahl ${\displaystyle n>0}$ und einen frei wählbaren Parameter ${\displaystyle b=\mathbb {Z} \setminus \{0\}}$ erhält man Lösungen z. B. durch:

${\displaystyle x={\frac {(9b^{6}-30n^{2}b^{3}+n^{4})(3b^{3}+n^{2})+72n^{4}b^{3}}{6bn\ (3b^{3}+n^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle y={\frac {30n^{2}b^{3}-9b^{6}-n^{4}}{6bn\ (3b^{3}+n^{2})}}}$

${\displaystyle z={\frac {18nb^{5}-6n^{3}b^{2}}{(3b^{3}+n^{2})^{2}}}}$

• Sobald eine der Basen ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \in \mathbb {R} }$ sein darf, sind beliebige Lösungen direkt ohne Umwege konstruierbar:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n\ \longrightarrow \ x={\sqrt[{3}]{n-y^{3}-z^{3}}}}$,   ${\displaystyle n}$ gegeben, ${\displaystyle y,z}$ beliebig

Weblinks

• W. Conn, L. N. Vaseršteĭn: On Sums of Three Integral Cubes. Contemporary Mathematics 166, März 1992, S. 1–11, abgerufen am 19. September 2019. 
• Roger Heath-Brown, Herman te Riele, Walter M. Lioen: On solving the Diophantine equation x³+y³+z³=k on a vector computer. Mathematics of Computation 61 (203), Juli 1993, S. 235–244, abgerufen am 19. September 2019. 
• Kenji Koyama: Tables of solutions of the Diophantine equation x³+y³+z³=n. Mathematics of Computation 62 (206), April 1994, S. 941–942, abgerufen am 24. September 2019. 
• Eric Rowland: Koyama's table of integer solutions of n=x³+y³+z³. Abgerufen am 24. September 2019 (5417 Lösungen von n=2 bis 999, davon 521 Lösungen von n=2 bis 100). 
• Erik Dofs: Solution of x³+y³+z³=nxyz. Acta Arithmetica LXXIII.3, 1995, S. 201–213, abgerufen am 19. September 2019. 
• Kenji Koyama, Yukio Tsuruoka, Hiroshi Sekigawa: On searching for solutions of the diophantine equation x³+y³+z³=n. Mathematics of Computation 66 (218), April 1997, S. 841–851, abgerufen am 19. September 2019. 
• Eric Rowland: Known families of integer solutions of x³+y³+z³=n. 28. Februar 2005, S. 1–6, abgerufen am 19. September 2019. 
• Michael Beck, Eric Pine, Wayne Tarrant, Kin Yarbrough Jensen: New Integer Representations as the Sum of three Cubes. Mathematics of Computation 76 (259), Juli 2007, S. 1683–1690, abgerufen am 19. September 2019. 
• Sander G. Huisman: Newer Sums of three Cubes. 26. April 2016, S. 1–3, abgerufen am 19. September 2019. 
• Armen Avagyan, Gurgen Dallakyan: A new method in the problem of three cubes. Armenian State Pedagogical University after Khachatur Abovyan, 21. Februar 2018, S. 1–23, abgerufen am 19. September 2019. 

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b c d e f g h} Armen Avagyan, Gurgen Dallakyan: A new method in the problem of three cubes. Armenian State Pedagogical University after Khachatur Abovyan, 21. Februar 2018, S. 1–23, abgerufen am 18. September 2019. 
2. ↑ ^{a b} Eric S. Rowland: Known families of integer solutions of x^3+y^3+z^3=n. (psu.edu [PDF]). 
3. ↑ Mark McAndrew: Insanely huge Sum-Of-Three-Cubes für 3 discovered – After 66 year search. Twitter, 16. September 2018, abgerufen am 18. September 2019. 
4. ↑ Hisanori Mishima: Solutions of n=x³+y³+z³, 0 <= n <= 99. Abgerufen am 18. September 2019. 
5. ↑ Tito Piezas III: Integer solutions to the equation a³+b³+c³=30. Abgerufen am 18. September 2019. 
6. ↑ ^{a b} Sander G. Huisman: Newer Sums of three Cubes. 26. April 2016, S. 1–3, abgerufen am 19. September 2019. 
7. ↑ W. Conn, L. N. Vaseršteĭn: On Sums of Three Integral Cubes. Contemporary Mathematics 166, März 1992, S. 1–11, abgerufen am 19. September 2019. 
8. ↑ Eric Rowland: Koyama's table of integer solutions of n=x³+y³+z³. Abgerufen am 24. September 2019 (5417 Lösungen von n=2 bis 999, davon 521 Lösungen von n=2 bis 100). 
9. ↑ D. J. Bernstein: threecubes. Abgerufen am 29. September 2019 (weitere Lösungen). 
10. ↑ Andrew R. Booker: Cracking the problem with 33. University of Bristol, 2019, S. 1–6, abgerufen am 18. September 2019. 
11. ↑ Lance Fortnow, Bill Gasarch: x³ + y³ + z³ = 33 has a solution in Z. And its big! Computational Complexity.org, 28. April 2019, abgerufen am 18. September 2019. 
12. ↑ ^{a b} Robin Houston: 42 is the answer to the question “what is (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?” The Aperiodical, 6. September 2019, abgerufen am 18. September 2019. 
13. ↑ Michelle Starr: Mathematicians Solve '42' Problem With Planetary Supercomputer. science alert, 9. September 2019, abgerufen am 18. September 2019. 
14. ↑ Mathematiker knacken Rätsel um die Zahl 42
15. ↑ D. R. Heath-Brown: The Density of Zeros of formsfor which weak Approximation fails. Band 59, Nr. 200. mathematics of computation, Oktober 1992, S. 613–623 (ams.org [PDF]). 
16. ↑ Kenji Koyama, Yukio Tsuruoka, Hiroshi Sekigawa: On searching for solutions of the diophantine equation x³+y³+z³=n, Property 1 und 2. Mathematics of Computation 66 (218), April 1997, S. 843–844, abgerufen am 28. September 2019.