Størmer-Zahl

Eine Størmer-Zahl, auch als Arkuskotangens-irreduzible Zahl (englisch arc-cotangent irreducible number) bezeichnet, ist eine natürliche Zahl n {\displaystyle n} , für die der größte Primfaktor von n 2 + 1 {\displaystyle n^{2}+1} größer oder gleich 2 n {\displaystyle 2n} ist. Namensgeber ist der norwegische Geophysiker und Mathematiker Carl Størmer.

Definition

Eine natürliche Zahl n {\displaystyle n} heißt Størmer-Zahl, wenn es eine Primzahl p {\displaystyle p} gibt mit p ≥ 2 n {\displaystyle p\geq 2n} und p | ( n 2 + 1 ) {\displaystyle p|(n^{2}+1)} , wobei | für die Teilbarkeitsrelation steht.[1]

Beispiel

n=33 ist eine Størmer-Zahl. Der größte Primfaktor von n 2 + 1 = 33 2 + 1 = 1090 = 2 ⋅ 5 ⋅ 109 {\displaystyle n^{2}+1=33^{2}+1=1090=2\cdot 5\cdot 109} ist 109 {\displaystyle 109} , und dieser ist größer als 2 n = 2 ⋅ 33 = 66 {\displaystyle 2n=2\cdot 33=66} .

Størmer-Zahlen

Folgende Zahlen sind Størmer-Zahlen:[2]

1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71, 74, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95, 96, …

John Todd hat bewiesen, dass diese Folge weder endlich noch koendlich ist.

Auftreten

Størmer-Zahlen treten bei der Untersuchung von Werten der Arkuskotangens-Funktion an ganzzahligen Stellen auf. Man nennt einen solchen Wert arccot ⁡ n {\displaystyle \operatorname {arccot} n} (auch Gregory-Zahl genannt) reduzibel, wenn er als ganzzahlige Linearkombination

arccot ⁡ n = ∑ k = 1 n − 1 a k ⋅ arccot ⁡ k , a k ∈ Z {\displaystyle \operatorname {arccot} n=\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}\cdot \operatorname {arccot} k,\quad a_{k}\in \mathbb {Z} }

solcher Werte an kleineren Stellen geschrieben werden kann, wie zum Beispiel

arccot ⁡ 3 = arccot ⁡ 1 − arccot ⁡ 2 , arccot ⁡ 7 = arccot ⁡ 1 − 2 ⋅ arccot ⁡ 2 , arccot ⁡ 8 = arccot ⁡ 3 − arccot ⁡ 5 , arccot ⁡ 57 = − 2 ⋅ arccot ⁡ 1 + 3 ⋅ arccot ⁡ 2 + arccot ⁡ 5 , arccot ⁡ 239 = − arccot ⁡ 1 + 4 ⋅ arccot ⁡ 5 , arccot ⁡ 682 = − 2 ⋅ arccot ⁡ 1 + 3 ⋅ arccot ⁡ 2 + 2 ⋅ arccot ⁡ 11 , arccot ⁡ 12943 = 3 ⋅ arccot ⁡ 1 − 4 ⋅ arccot ⁡ 2 − 3 ⋅ arccot ⁡ 5 + arccot ⁡ 11. {\displaystyle {\begin{array}{ll}\operatorname {arccot} 3&=\operatorname {arccot} 1-\operatorname {arccot} 2,\\\operatorname {arccot} 7&=\operatorname {arccot} 1-2\cdot \operatorname {arccot} 2,\\\operatorname {arccot} 8&=\operatorname {arccot} 3-\operatorname {arccot} 5,\\\operatorname {arccot} 57&=-2\cdot \operatorname {arccot} 1+3\cdot \operatorname {arccot} 2+\operatorname {arccot} 5,\\\operatorname {arccot} 239&=-\operatorname {arccot} 1+4\cdot \operatorname {arccot} 5,\\\operatorname {arccot} 682&=-2\cdot \operatorname {arccot} 1+3\cdot \operatorname {arccot} 2+2\cdot \operatorname {arccot} 11,\\\operatorname {arccot} 12943&=3\cdot \operatorname {arccot} 1-4\cdot \operatorname {arccot} 2-3\cdot \operatorname {arccot} 5+\operatorname {arccot} 11.\\\end{array}}}

Es stellt sich heraus, dass arccot ⁡ n {\displaystyle \operatorname {arccot} n} genau dann irreduzibel, also nicht eine solche Linearkombination ist, wenn n {\displaystyle n} eine Størmer-Zahl ist.[3] Die gezeigte Art der Zerlegung erklärt die eingangs genannte alternative Bezeichnung „Arkuskotangens-irreduzible Zahl“.

Einzelnachweise

  1. ↑ John H. Conway, R. K. Guy: The Book of Numbers, Copernicus Press, S. 246
  2. ↑ Folge A005528. Abgerufen am 24. April 2019. 
  3. ↑ John Todd: A Problem on Arc Tangent Relations, American Mathematical Monthly (1949), Band 56, No. 8, Seiten 517–528. Dieses auch auf JSTOR:2305526.

Weblinks

  • Størmer number (MathWorld)