R-Matrix

In der statistischen Physik werden Matrizen R ∈ M a t ( n ) {\displaystyle R\in Mat(n)} , welche der Yang-Baxter-Gleichung (nach C. N. Yang[1] und Rodney Baxter[2]):

R 12 R 13 R 23 = R 23 R 13 R 12 {\displaystyle R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12}}

genügen, als R-Matrizen bezeichnet.

In der Mathematik werden R-Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet.

Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten

Veranschaulichung der Yang-Baxter-Gleichung

Eine n 2 × n 2 {\displaystyle n^{2}\times n^{2}} -Matrix R {\displaystyle R} mit Einträgen r i j k l {\displaystyle r_{ij}^{kl}} kann als Endomorphismus des C n ⊗ C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}} mit Basis e i ⊗ e j {\displaystyle e_{i}\otimes e_{j}} aufgefasst werden, also

R ( e i ⊗ e j ) = ∑ k , l r i j k l e k ⊗ e l {\displaystyle R(e_{i}\otimes e_{j})=\sum _{k,l}r_{ij}^{kl}e_{k}\otimes e_{l}} .

Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als

R 12 R 13 R 23 = R 23 R 13 R 12 {\displaystyle R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12}} ,

wobei R i j {\displaystyle R^{ij}} der Endomorphismus von C n ⊗ C n ⊗ C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}} ist, der auf den Faktoren i , j {\displaystyle i,j} als R {\displaystyle R} wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitätsabbildung. Also

R 12 = R ⊗ i d , R 23 = i d ⊗ R {\displaystyle R^{12}=R\otimes id,R^{23}=id\otimes R}

und

R 13 ( e i ⊗ e j ⊗ e k ) = ∑ a , b r i k a b e a ⊗ e j ⊗ e b {\displaystyle R^{13}(e_{i}\otimes e_{j}\otimes e_{k})=\sum _{a,b}r_{ik}^{ab}e_{a}\otimes e_{j}\otimes e_{b}} .

R-Matrizen in der Quantenmechanik

Ein eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel, wenn seine Streumatrix der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.

R-Matrizen in der Knotentheorie

Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.

Literatur

  • Yang-Baxter equation. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
  • J. Park, H. Au-Yang: Yang-Baxter equations. In: J.-P. Françoise, G.L. Naber, Tsou S.T. (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematical Physics. Volume 5, Elsevier, Oxford 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 465–473.
  • M. Jimbo: Quantum R matrix for the generalized Toda system. In: Comm. Math. Phys. 102, Nr. 4, 1986, S. 537–547, doi:10.1007/BF01221646.

Einzelnachweise

  1. ↑ Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with delta-function interaction, Phys. Rev. Lett., Band 19, 1967, S. 1312–1314, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1312
  2. ↑ Baxter, Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice, Phil. Trans. Royal Soc., Band 289, 1978, S. 315–346, doi:10.1098/rsta.1978.0062, JSTOR:75051