Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, so dass ein quadriertes Binom entsteht und die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann. Dieses Verfahren kann zum Beispiel zur Lösung von quadratischen Gleichungen oder zur Bestimmung der Scheitelform (und damit auch des Scheitelpunkts, also des Extremwerts) von quadratischen Funktionen verwendet werden.
In der analytischen Geometrie gehört dieses Verfahren zu den Methoden, mit denen Gleichungen von Quadriken auf eine Normalform gebracht werden können. Dabei werden quadratische Terme in mehreren Variablen (quadratische Formen) umgeformt.
Inhaltsverzeichnis
1Beispiele
1.1Bestimmung der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
1.1.1Beispiel
1.2Lösung einer quadratischen Gleichung
1.3Bestimmung einer Stammfunktion
1.4Normalform einer Quadrik
2Alternativen
3Literatur
4Weblinks
Beispiele
Bestimmung der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
Gegebene quadratische Funktion:
Ausklammern des Leitkoeffizienten:
Der eingeklammerte Term wird jetzt in eine Form gebracht, so dass die erste binomische Formel angewendet werden kann. Dabei wird als „nahrhafte Null“ bezeichnet, oder als „Nullergänzung“.
Quadratische Ergänzung:
Bildung des Quadrats:
Ausmultiplizieren:
Scheitelform der Funktion:
Ablesen des Scheitelpunkts:
Ergänzung: Mit ist also die -Koordinate des Scheitelpunkts. Für die zugehörige -Koordinate gilt dann .
Die linke Seite der Gleichung wird jetzt in eine Form gebracht, so dass die zweite binomische Formel angewendet werden kann. wird auch auf der rechten Seite der Gleichung addiert:
soll berechnet werden. Die quadratische Ergänzung im Nenner liefert
Für das Integral bedeutet dies:
Beim letzten Umformungsschritt oben wurde das folgende bekannte Integral eingesetzt, welches man einer Tabelle von Stammfunktionen entnehmen kann:
Normalform einer Quadrik
Die Quadrik
mit
soll auf affine Normalform gebracht werden. Quadratische Ergänzung in der Variablen (d. h. wird als Parameter angesehen) und anschließende quadratische Ergänzung in ergibt
Mit der Substitution , wird also die Gleichung der Quadrik auf die Kreisgleichung transformiert.
Alternativen
Die Scheitelform einer quadratischen Funktion kann auch mit Hilfe der Differentialrechnung (durch Bestimmung der Nullstelle der ersten Ableitung) gewonnen werden.
Zum Lösen von quadratischen Gleichungen gibt es bereits fertige Lösungsformeln, in die man nur noch einsetzen muss. Die Herleitung dieser Formeln geschieht aber doch wieder unter Verwendung der quadratischen Ergänzung.
Literatur
F.A. Willers, K.G. Krapf: Elementar-Mathematik: Ein Vorkurs zur Höheren Mathematik. 14. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-86564-0, S. 84–86
Weblinks
Commons: Quadratische Ergänzung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien